例解的补数是连起来得再在后桓即得，先将算法的电路实现的基本支路作一下变形，小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华，重复步骤一可实现下一尺度小波分解直到达到规定的尺度为止。

快速计算法小结

快速计算法

一、乘法：根据快速计算法和心算资料，探索出用“头×头，尾×尾（其中加某数）”很快报出得数的12类型的一口报公式，其中的“万能公式”能解决任何数相乘。下面即为12种类型一口报公式代表性例题。

（1）、头同，尾和等于10：23×27=47×43= 98×92=

（注：“头同”指相乘两数开头的数字相同，如23与27开头的数字都为2；“尾和等于10”指相乘两数的末位数字相加之和为10，如47与43两数的末位数字分别为7和3，且7+3=10。）

其心算公式是：头同，尾和等于10（十位数相同，个位数的和为10）则—头×（头+1）与尾×尾连起来。如：47×43=2021 解：4×（4+1）=207×3=21 20与21连起来得2021。

（2）、尾同，头和等于10：67×47= 16×96=

（注：“尾同”指相乘两数的末位数字相同，如67与47的末位数字都为7；“头和等于10”指相乘两数开头的数字之和等于10，如16与96两数的开头数字分别为1和9，且1+9=10。）其心算公式是：尾同，头和等于10（个位数相同，十位数的和为10）则—头×头+尾与尾×尾连起来。如：26×86=2236 解：2×8+6=22 6×6=3622与36连起来得2236。

（3）、头差1，尾和等于10：86×74= 52×68= 97×83=

（注：“头差1”指相乘两数开头的数字相差1，如86与74开头的数字分别为8与7，且8-7=1，“尾和等于10”指相乘两数的末位数字相加之和为10，如86与74两数的末位数字分别为6和4，且6+4=10。）其心算公式是：头差1，尾和等于10（十位数相差1，个位数的和为10）则—十位上的大数的平方减1与个位上的大数的平方的补数连起来。如：86×74=6364 解：十位上的大数的平方减1为：8×8-1=63，个位上的大数的平方为：6×6=36，其补数为64，连起来得6364。

（4）、头是1：12×13=14×16=17×18=

（注：“头是1”指相乘两数开头的数字同为1，如12与13开头的数字都为1。）其心算公式是：头是1（十位数是1）则—一个数加另一个数的尾数之和后补0与尾×尾相加。如：12×13=156解：12+3=15在15后补0即变为150 2×3=6 加起来得156 又如： 17×18=306 解：17+8=25 7×8=56在25后补0即变为250加起来得306。

（5）、尾是1：31×41= 61×81=71×91=

（注：“尾是1”指相乘两数的末位数字都为1，如31与41末位的数字都为1。）其心算公式是：尾数是1（个位数是1）则—头×头与头+头连起来最后潻1（当头+头＞10或头+头=10时，则给“头×头”所得到的数加1，且保留“头+头”得到的数的个位数，若头+头=10则其个位数为0，同样要予以保留，再将保留下来的个位数与加1后的数相连）如：31×41=1271 解：3×4=12 3+4=7 连起来得127，再在其后面

潻1得1271 又如：71×91=6461 解：7×9=63 7+9=16 因16＞10故给63加1，从而得到64，而 7+9=16保留其个位数字“6”，再与“63”加1后的数“64”相连，则得数646，再在其后面潻1得6461。再如，21×81=1701 解： 2×8=16 2+8=10因2+8=10 故给16加1，从而得到17，保留2+8=10的个位数字“0”，再与“16”加1后的数“17”相连，则得数170，再在其后面潻1得1701。

（6）、一个数互补，另一个数相同：28×66=19×88=

（注：“一个数互补”指相乘两数当中存在一个数是由两个存在互补关系的数字组成的，如28与66中，28中的数字“2”与数字“8”存在互补关系，“一个数相同”指相乘两数当中存在一个数是由两个相同的数字组成的，如28与66中，66就是由两个相同的数字“6”组成。）其心算公式是：一个数互补，另一个数相同，则—在由互补数字组成的数的十位数上加1后，得到一个新数，再用“新数的头×由两个相同的数字组成的数的头”，“新数的尾×由两个相同的数字组成的数的尾”将它们连起来。如：28×66=1848 解：因由两互补关系数字组成的数是28，故在十位数上加1，即2+1=3，可得一新数“38”，则3×6=18 8×6=48，将其连起来得1848。

（7）、头同，尾和不等于10：35×36= 35×34= 72×78=

（注：由（1）不难理解“头同，尾和不等于10”的表述。）其心算公式是：头同，尾和不等于10（十位数相同，个位数的和不为10）则—头×（头+1）与尾×尾连起来，此时，得到一个数值，再用这个数减去“（10-尾-尾）×头×10即可。如：35×36=1260 解：3×（3+1）=12 6×5=30 将它们连起来得1230，而（10-5-6）×3×10=-30，再用“1230”减去“-30”即得1260；又如：35×34= 1190 解：3×（3+1）=125×4=20 将它们连起来得1220，而（10-5-4）×3×10=30，再用“1220”减去“30”即得1190。

（8）、任何数乘以0.5、0.25、0.125、0.0625……

其心算公式是：任何数乘以0.5、0.25、0.125、0.0625……可分别除以2、4、8、16……如：84×0.5=42 即84÷2=42

（9）、任何数相乘（万能公式）：62×57= 84×23= 97×21=

其心算公式是：内、外项积的和，加在头×头，尾×尾连起来的百位，十倍上。如62×57= 3534 解：头×头即6×5=30，尾×尾即2×7=14 ，连起来得3014。内项积2×5=10 外项积6×7=42，内、外项积的和为10+42=52，加在3014的百位及十位上得3534。

（10）、两数互补：975×25=911×89=

（注：“两数互补”指两个数相加，刚好能得到10、100、1000……）其心算公式是：选出相乘两数中的较小数，在其后潻0（所潻0的个数等于与其相乘的数的位数），得到一个新数，再用这个新数减去潻0的那个较小数的平方即可。如：975×25= 24375 相乘两数中的较小数是25

，故在其后潻0，而与其相乘的是一个三位数，则需潻3个0，得到25000，再用25000减去25的平方（625），即25000-625=24375。

（11）、两数互为负补：1013×13= 1082×82=

（“两数互为负补”指两个数相减，刚好能得到10、100、1000……）其心算公式是：选出相乘两数中的较小数，在其后潻0（所潻0的个数等于与其相乘的数的位数减1），得到一个新数，再用这个新数加上潻0的那个较小数的平方即可。如：1013×13=13169 相乘两数中的较小数是13，故在其后潻0，而与其相乘的是一个四位数，则根据括号内的注解可知，只需潻3（4-1）个0，得到13000，再用13000加上13的平方（169），即13000+169=13169。

（12）、类推三位及多位数：432×438=（用公式1计算）， 304×416= （用公式3计算）， 13555×13445=（用公式1计算）。

1990（年）乘以任何数（年龄数）可报出总积数。例：1990×58= 解：58×2-1=115 58的补数是42，连起来得11542，再在后潻一个0，即得。（注：补数是能把某一个数补成1、10、100、1000……，所补的那个数叫补数。

二、除法：由于除法是乘法的逆运算，因此不再赘述。

小波变换快速算法及应用小结

离散小波变换的快速算法

Mallat算法[经典算法]

在小波理论中,多分辨率分析是一个重要的组成部分。多分辨率分析是一种对信号的空间分解方法,分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。因此,对于一个能量有限信号,可以通过多分辨率分析的方法把其中的逼近信号和细节信号分离开,然后再根据需要逐一研究。多分辨率分析的概念是S.Mallat在构造正交小波基的时候提出的,并同时给出了著名的Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶变换中的地位,为小波分析的应用和发展起到了极大的推动作用。

MALLAT算法的原理

在对信号进行分解时，该算法采用二分树结构对原始输入信号x(n)进行滤波和二抽取，得到

111第一级的离散平滑逼近和离散细节逼近和，再采用同样的结构对进行滤波和二抽取

22得到第二级的离散平滑逼近和离散细节逼近和，再依次进行下去从而得到各级的离散

123细节逼近对,,…，即各级的小波系数。重构信号时，只要将分解算法中的步骤反过来进行即可，但要注意，此时的滤波器与分解算法中的滤波器不一定是同一滤波器，并且要将二抽取装置换成二插入装置才行。

多孔算法

[小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华]

多孔算法是由M.shen于1992年提出的一种利用Mallat算法结构计算小波变换的快速算法，因在低通滤波器h0()和高通滤波器h1()中插入适当数目的零点而得名。它适用于a=2的二分树结构，与Mallat算法的电路实现结构相似。先将Mallat算法的电路实现的基本支路作一下变形。令h0和h1()的z变换为H0（z）与H1（z），下两条支路完全等价，只不过是将插值和二抽取的顺序调换一下罢了。图中其它的上下两条支路也为等效支路，可仿照上面的方法证明。这样，我们便可由Mallat算法的二分树电路结构得出多孔算法的电路级联图，原Mallat算法中的电路支路由相应的等效支路所取代，所以整个电路形式与Mallat算法非常相似。如果舍去最后的抽取环节们实际上相当于把所有点的小波变换全部计算出来。 基干FFT的小波快速算法

[小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华]

Mallat算法是由法国科学家StephaneG.Mallat提出的计算小波分解与重构的快速算法，能大大降低小波分解与重构的计算量，因此在数字信号处理和数字通信领域中得到了广泛的应用。但是如果直接采用该算法计算信号的分解和重构，其运算量还是比较大。主要体现在信号长度较大时，与小波滤波器组作卷积和相关的乘加法的计算量很大，不利于信号的实时处理。

故有必要对该算法作进一步的改进。众所周知，FFT是计算离散傅里叶变换(DFT)的一种快速算法，如能将它和Mallat算法结合在一起，势必会进一步降低小波分解和重构的计算量，事实证明这一想法是可行的。

基于FFT的小波变换快速算法是通过离散傅里叶变换建立起FFT和mallat算法之何的桥梁，从而将、FFT引入到小波变换中来，达到改小波变换快速算法及硬件实现的研究进Mallat算法的目的。

当信号长度较小时，FFT算法效率不及直接算法;随着长度的增加，特别是对于长度是2的幕次方的信号，FFT算法比直接算法更适用，能大大降低计算t。当信号是长序列信号时，小波分解与重构中，滤波器要补很多的零，这对信号的实时计算很不利，我们可以采用长序列快速相关卷积算法对信号进行分段后再运用FFT算法，提高运算速度。

基于算术傅里叶变换的小波变换快速算法

[小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华]

算术傅里叶变换(AFT)是1988年由Tufts和Sadasiv提出的一种用Mobius反演公式计算连续函数傅里叶系数的方法.它具有乘法运算t仅为O(N)算法简单、并行性好的优点。根据DPT和连续函数傅里叶系数的关系，可以用AFT计算DFT。同直接算法相比，APT方法可以将DFT的计算时间减少90%，尤其是对于含有较大素因子，特别是其长度本身为素数的DFT，它的速度比传统的FFT更快.另一方面，Mallat算法的分解和重构算法也可由DFT来计算，从而将AFT与Mallat算法联系了起来，从而为小波变换快速算法开辟了新的途径。

对于尺度

为j的快速分解算法步骤如下:

1)选定滤波器系数h(n)和g(n)，再根据FFT的性质2，用N点的AFT分别计算出H(k)和G(k)，分别取共扼，进而得到H*(k)，G*(k)。

2)在已知cj(n)的情况下，用N点的AFT求出其DFTCj(k)

3)分别计算出H*(k) Cj(k)，G*(k)Cj(k)，即C’j(k)和D’j(k)

4)用N点的AFT求出C’j+1(k)和D’j+1(k)IDFT，得到C’j+1(n)和D’j+1(n)IDFT，再分别对它 们作二抽取，就可求出Cj+1(n)和Dj+1(n)。

在进行分解计算时，H(k) G(k)只要计算一次即可。重复步骤(2)一(4)可实现下一尺度小波分解，直到达到规定的尺度为止。不过要注意:尺度增加一个级别，信号长度减半。

对于尺度为j+1的快速重构算法为:

1)对Cj+1(n)和Dj+1(n)进行二插值，得到C’j+1(n)和D’j+1(n);

2)用N点的AFT分别求出h(n)、g(n)的DFTH(k)和G(k)

3)用N点的AFT分别求出C’j+1(n)和D’j+1(n)的DFTC’j+1(k)和D’j+1(k);

4)根据(17)式求出Cj(k)，再用N点的AFT进行IDFT，可求出cj(n)。

基于Hermite插值的小波变换模极大值重构信号快速算法

[基于Hermite插值的小波变换模极大值重构信号快速算法韩民，田岚，翟广涛，崔国辉] 信号在不同尺度上的小波变换模极大值包含了信号中的重要信息，因此研究如何由小波变 换模极大值重构信号是很有意义的。论文提出了一种基于Hermite插值多项式由二进小波变换模极大值重构信号的快速算法。数值试验表明，与S.Mallat提出的经典交替投影算法相比，

该算法可以在保证重构质量的前提下简化计算过程，提高计算效率，计算所需时间与交替投影算法相比大大减少，是一种实用性较强的信号重构算法。

Hermite插值[11]方法是一种具有重节点的多项式插值方法，由于它要求在节点处满足相应的导数条件，因此也称为切触差值。由于小波系数模极大值点的导数为零，这与Hermite插值对节点的导数要求不谋而合，因此我们选用Hermite插值多项式作为改进的插值方法。 强奇异积分方程小波Petrov-Galerkin快速算法

[强奇异积分方程小波Petrov-Galerkin快速算法隆广庆]

通过构造具有高阶消失矩、小支集和半双正交性质的分片多尺度小波基底, 给出第2类强奇异积分方程的小波Petrov-Galerkin快速算法, 并证明该算法收敛阶达到**, 条件数有界, 计算复杂性几乎**。构造配置泛函的思想, 构造分片多项式空间Xn上2列具有半双正交性的小波基,其中一列具有高阶消失矩性质。

小波变换的应用

小波分析在图像压缩编码中的应用

[小波变换算法在数字图像处理中的应用支春强中国电子科技集团公司第二十八研究所，江苏南京 摘]

数字图像信号像素间一般都具有相关性，相邻之间、相邻列之间的相关性最强，其相关系数呈指规律衰减。图像中相关性的存在，是图像压缩的理论依据，使得能针对性地采用某种相关的手段去除冗余信息，达到压缩的目的。利用变换编码可以有效地消除像素间的相关性，从而获得较好的压缩效果。其基本原理就是将在时域描述的信号（如声音信号）或在空域描述的信号（如图像信号）经变换到正交向量空间（即变换域）中进行描述，在变换域的描述中各信号分量之间的相关性很小或互不相关，即能量得以集中。

小波变换进行图像重构实质上是相当于分别对图像数据的行和列做一维小波逆变换。对通过水平跟垂直滤波，离散小波将一级变换后图像的4个子图进行合成。对多级变换后的图像，则先对其信息集中的图进行重构，然后逐层进行。

小波分析在图像处理边缘检测中的应用

小波变换在车牌定位中的应用张国才，王召巴（中北大学信息与通信工程学院，山西太原030051）

由于传统的边缘检测方法检测到的边缘信息复杂，要想从中找准车牌的位置十分困难，而小波可以在不同的分辨率层次上对图像进行分割，在低分辨率层次上进行粗分割，由于计算量较小，适用于寻找目标的大致轮廓，在较高分辨率上实现精细分割，而且粗分割的结果对精细分割具有一定的指导作用，可以减少计算量和提高目标的定位精度。所以有的学者将小波变换用在了车牌区域的定位方面，利用小波的特点对车牌图像进行分析，发现小波分解

后的细节分量中有能较好体现出车牌位置的信息，特别是水平低频、垂直高频分量能提供更准确的车牌位置信息。利用小波变换对车牌定位，在小波变换的分解图像中这里只研究其低频子图像，对低频子图像利用最大类间方差法进行二值化分割。

在军事工程方面的应用

[小波变换及其在轨道检测中的应用俞峰 戴月辉 ]

目前小波分析应用于轨道检测主要有: ①用小波时域局部特征检测突变信号(如检测钢

轨焊接部位缺陷、钢轨表面磨损等) ; ②当传统的功率谱无法区分信号谱特征时,采用小波分 层细化分解,提取信号谱特征。

在语音合成方面的应用

[语音处理中自适应小波变换的应用 Application of Adaptive Wavelet Transformations

in Speech Processing徐静波,冉崇森XU Jing2bo , RAN Chong2sen( 信息工程大学信息工程学院,河南郑州)]

对于含噪声语音信号,我们先分离小波变换中语音信号引起的模极大值点和噪声引起的模极 大值点,再根据语音信号引起的模极大值点来检测端点。一般地,原始信号的Lipschitz指数是正的,而白噪声的Lipschitz指数是负的。当尺度减少时,如果某些小波变换模极大值点的幅值急剧增加,则表明对应的奇异性具有负的Lipschitz指数,这些极大值点几乎被噪声控制。因为由噪声引起的模极大值点的平均密度与尺度成反比,所以,随着尺度的递增,至少有一半的模极大值点不能传递到较大尺度上。因此,那些不能从一个尺度上传递到较大尺度上的模极大值点,也是由噪声控制的。我们把噪声控制的模极大值点去掉,剩下的模极大值点就是由语音信号控制的。

在其他方面的应用

（1）小波分析在数字水印中的应用

使用小波域水印方法的优点与在JPEG 中使用小波是类似的，并且小波的多分辨率分析与人眼视觉特性是一致的，这对根据HVS 选择适当的水印嵌入位置和嵌入强度有很大的帮助。

（2）小波分析在图像滤波中的应用

在小波变换域，可通过对小波系数进行切削、缩小幅度等非线性处理，以达到滤除噪声的目的。

（3）小波分析在地球物理勘探中的应用

提高物理勘探资料的信噪比和分辨率一直是物理勘探资料处理所追求的目标。在资料处理中所遇到的噪音主要有规则干扰和随机干扰两大类，利用小波变换时频两域都有局部化的特点，对信号进行多尺度分解同样可以抑制噪音。

（4）医学检测方面的应用

小波能有效提取生理信号中的突变特征点，这在医学方面（如B超、CT、磁共振、心电图等）已有成熟的应用。在胃动力检测方面，利用小波包变换方法能很清除地分辨出人体胃运动的三相特征，这些在临床上都有重要的应用价值。

神童是怎么炼成的——中小学数学快速计算法

第一讲加法速算

一、凑整加法

凑整加法就是凑整加差法，先凑成整数后加差数，就能算的快。8+7=15计算时先将8凑成10，8加2等于107减2等于510＋5=15；如17＋9=26计算程序是17+3=20，9-3=6，20+6=26

二、补数加法

补数加法速度快，主要是没有逐位进位的麻烦。补数就是两个数的和为10、100、1000等等。 8+2=10，78+22=100，8是2的补数，2也是8的补数；78是22的补数，22也是78的补数。 利用补数进行加法计算的方法是十位加1，个位减补。

例如6+8=14计算时在6的十位加上1，变成16，再从16中减去8的补数2就得14

如6+7=13先6+10=16后16-3=13

如27+8=35，27+10=37，37-2=35

如25+85=110，25+100=125，125-15=110

如867+898=1765，867+1000=1867，1867-102=1765

三、调换位置的加法

两个十位数互换位置，有速算方法是：

十位加个位，和是一位和是双，和是两位相加排中央。

例如61＋16＝77，计算程序是6＋1＝77是一位数，和是双，就是两个7，61+16=77再如83＋38＝121计算程序是8＋3＝11，11就是两位数，两位数相加1＋1＝2排中央，将2排在11中间，就得121。

第二讲减法速算

一、两位减一位补数减法

两位数减一位数的补数减法是：十位减1，个位加补。

如15－8＝7，15减去10等于5，5加个位8的补数2等于7。

二、多位数补数减法

补数减法就是减1加补，三位减两位的方法：百位减1，十位加补，

如268－89＝179，计算程序是268减100等于168，168加89的补数11就等于179。

三、调换位置的减法

两个十位数互换位置，有速算方法：十位数减个位数，然后乘以9，就是差数。

如86－68＝18，计算程序是8－6＝2，2乘以9等于18。

四、多位数连减法

多位数连减，采用补数加减数的方法达到速算。先找到被减数的补数，然后将所有的减数当成加数连加，再看和的补数是多少，和的补数就是所求之差数。

举例说明：653－35－67－43－168＝340，先找被减数653的补数，653的补数是347，然后连加减数347＋35＋67＋43＋168＝660，660的补数为340，差数就得340。

第三讲乘法速算

一、两个20以内数的乘法

两个20以内数相乘，将一数的个位数与另一个数相加乘以10，然后再加两个尾数的积，就是应求的得数。如12×13＝156，计算程序是将12的尾数2，加至13里，13加2等于15，15×10＝150，然后加各个尾数的积得156，就是应求的积数。

二、首同尾互补的乘法

两个十位数相乘，首数相同，而尾十互补，其计算方法是：

头加1，然后头乘为前积，尾乘尾为后积，两积连接起来，就是应求的得数。

如26×24＝624。计算程序是：被乘数26的头加1等于3，然后头乘头，就是3×2＝6，尾乘尾6×4＝24，相连为624。

三、乘数加倍、加半或减半的乘法

在首同尾互补的计算上，可以引深一步就是乘数可加倍，加半倍，也可减半计算，但是：加倍、加半或减半都不能有进位数或出现小数，如48×42是规定的算法，然而，可以将乘数42加倍位84，也可以减半位21，也可加半倍位63，都可以按规定方法计算。48×21＝1008，48×63＝3024，48×84=4032。有进位数的不能算。如87×83＝7221，将83加倍166，或减半41.5，这都不能按规定的方法计算。

四、首尾互补与首尾相同的乘法

一个数首尾互补，而另一个数首尾相同，其计算方法是：

头加1，然后头乘头为前积，尾乘尾为后积，两积相连为乘积。

如37×33＝1221，计算程序是(3＋1)×3×100＋7×3＝1221。

五、两个头互补尾相同的乘法

两个十位数互补，两个尾数相同，其计算方法是：

头乘头后加尾数为前积，尾自乘为后积。

如48×68＝3264。计算程序是4×6＝24，24＋8＝32，32为前积，8×8＝64为后积，两积相连就得3264。

六、首同尾非互补的乘法

两个十位数相乘，首位数相同，而两个尾数非互补，计算方法：

头加1，头乘头，尾乘尾，把两个积连接起来。再看尾和尾的和比10大几还是小几，大几就加几个首位数，小几就减掉几个首位数。

加减的位置是：一位在十位加减，两位在百位加减。

如36×35＝1260，计算时(3＋1)×3＝12，6×5＝30相连为1230，6＋5＝11，比10大1，就加一个首位3，

一位在十位加，1230＋30＝1260，36×35就得1260。

再如36×32＝1152，程序是(3＋1)×3＝12，6×2＝12，12与12相连为1212，6＋2＝8，比10小2减两个3，3×2＝6，一位在十位减，1212－60就得1152。

七、一数相同一数非互补的乘法

两位数相乘，一数的和非互补，另一数相同，方法是：

头加1，头乘头，尾乘尾，将两积连接起来后，再看被乘数横加之和比10大几就加几个乘数首。 比10小几就减几个乘数首，加减位置：一位数十位加减，两位数百位加减，

如65×77＝5005，计算程序是(6＋1)×7＝49，5×7＝35，相连为4935，6＋5＝11，比10大1，加一个7，一位数十位加。4935＋70＝5005

八、两头非互补两尾相同的乘法

两个头非互补，两个尾相同，其计算方法是：

头乘头加尾数，尾自乘。两积连接起来后，再看两个头的和比10大几或小几，比10大几就加几个尾数，小几就减几个尾数。

加减位置：一位数十位加减，两位数百位加减。

如67×87＝5829，计算程序是：6×8＋7＝55，7×7＝49，相连为5549，6＋8＝14，比10大4，就加四个7，4×7＝28，两位数百位加，5549＋280＝5829

九、任意两位数头加1乘法

任意两个十位数相乘，都可按头加1方法计算：

头加1后，头乘头，尾乘尾，将两个积连接起来后，有两比，这两比是非常关键的，必须牢记。

第一是比首，就是被乘数首比乘数首小几或大几，大几就加几个乘数尾，小几就减几个乘数尾。第二是比两个尾数的和比10大几或小几，大几就加几个乘数首，小几就减几个乘数首。

加减位置是：一位数十位加减，两位数百位加减。

如：35×28＝980，计算程序是：(3＋1)×2＝8，5×8＝40，相连为840，这不是应求的积数，还有两比，一是比首，3比2大1，就要加一个乘数尾，加8，二是比尾，5＋8＝13，13比10大3，就加3个乘数首，3×2＝6，8＋6＝14，两位数百位加，840＋140＝980。再如：28×35＝980，计算程序是：(2＋1)×3＝9，8×5＝40，相连位940，一是比首，2比3小1，减一个乘数尾，减5，二是比尾，8＋5＝13，比10大3，加三个3，3×3＝9，9－5＝4，一位数十位加，940＋40＝980。

十、首位都是5的乘法

两个十位数相乘，首位都是5时，先求出5的平方，再求出尾数和的一半，加平方数里，为前积；然后求两个尾数的积，为后积，连接起来就应求的得数。

如58×54＝3132，其计算程序是：5×5＝25，8＋4＝12，12的半数6，25＋6＝31，再加8×4＝32。两积

相连为3132。58×54就得3132。

十一、尾数都是5的乘法

两个十位数相乘，尾数都是5的乘法，先求出首位数的积，再加上首和的一半为前积，再加尾5的平方，就是应求的数。如：65×85＝5525，计算程序是：6×8＝48，6＋8＝14，半数为7，48＋7＝55，5×5＝25，连接起来，就得5525。

十二、减平方差的乘法

两个首位数差1，尾为互补的乘法，其计算方法是：大1的首位数平方减去尾数的平方，就是得数。 如：42×38＝1596。其计算程序是：首先4比3大1，尾数又是互补，那就减平方差，40的平方减2的平方，1600－4＝1596。

十三、多位数减平方差的乘法

根据减平方差的计算原理，可以引深一步，凡是首位大1，后边的数字为互补的数码，都可以按减平方差公式计算。如：406×394＝。计算程序是：400的平方减6的平方，－36＝。 十四、一数和为9，另一数为连接数的乘法

凡是一个两位数的和为9，另一数为连接数，其计算方法是：

头加1后，头乘头为前积，尾补乘尾补为后积，中间不管有多少位数，不用计算，都是头加1那个数。 比如：72×4567＝，计算程序是：7加1为8，8乘4等于32，为前积，两个尾补的积是：8×3＝24，为后积，中间两位数是56，不用计算，这两位都是头加1的数，都是8，72×4567就得。 十五、首同是9的乘法

两个十位数相乘，首位都是9时，其计算方法是：

将一数的补数从另一数中减掉，为前积，然后加上两个尾补的积为后积，连接起来，就为得数。

如：97×94＝9118，计算程序是：97－6等于91，为前积，两个尾补的积是3×6＝18，91和18相连就得9118。

十六、9的倍数乘法

9的倍数是指18、27、36、45、54、63、72、81、198、297等等，都是9的倍数，都可以用一位数计算。如18=20-2，297=300-3，3996=4000-4等等，用一位去乘任何数，得出积来错位相减即可得到乘积。如：27×35=945，(27=30-3)；30×35=1050，1050-105=945。

十七、以11为标准的排积法

以11为标准的速算，已经形成规律，这里要解决的是小数码的计算，要以11为标准见数排积，如：11×32＝352，计算方法是：见3读3，为第一位数，第二位数是3与2相加等于5，尾数2是第三位数。实际是：乘数32横加等于5，排在2与3中间，11×32就得352。

再如：11×23125＝。看数就能直接报数，23125，第一位数是2，第二位数是2＋3的和5，第三

位是3＋1的和4，第四位是1＋2的和3，第五位是2＋5的和7，第六位是尾数5。利用以11为标准的排积法，可以对12、22等都能直接报数。

如：12×321＝3852。在排321时，首位3不动，还首3，第二位是首位加倍加下位，首位3加倍为6，再加下位2，3＋3＋2＝8第二位我8、第三位是本位加倍加下位2＋2＋1＝5，第四位是尾数加倍落下来。 十八、稍大于100－500的乘法

两个乘数都稍大于100，可以采用一百零几的规律计算，如：106×107＝11342。计算方法是： 首位不动，尾相加，尾相乘，把得数连接起来，就是得数。

计算程序是：先排首位1，次排尾数和，再排尾数积。

106×107是：排首位1，排尾数和，6＋7＝13，排尾数积6×7＝42，把1、13、42连接起来，就得11342。 以一百零几为标准，可对稍大于一百几的任何数码进行计算。如：112×113＝12656，计算程序是：（112＋13）×100＋12×13，12500＋156=12656。

以一百零几为标准，可对稍大于200－500的数进行计算：要扩大倍数，几百就扩大几百倍，如205×208＝42640，计算程序是：（205＋8）×200＋5×8，213×200＋40＝42640

十九、稍小于100－500的乘法

稍小于100－500的数码，要利用补数计算，计算方法是：

从一个乘数中减去另一个乘数的补数，为前积，再加两个补数的积为后积。

如：86×96＝8256，计算程序是：(86－4)×100＋14×4，8200＋56＝8256。(86的补数14，96的补数4) 一个数稍大于100－500，另一个数稍小于100－500的计算方法是：小数加大数零头，扩大接近数的倍数，再减去大数零头与小数补数的积，就是应求的得数。如：104×98＝10192。计算程序是：（98＋4）×100－4×2，10200－8＝10192。

二十、十几乘20以上数的乘法

一个数是十几，另一个数是20以上的数相乘，其计算方法是：

大数头与小数尾的积加在大数上乘10，再加两个尾数的积，就数应求的得数。

如：26×13＝338。计算程序是：大数头2乘小数尾3得6，加在大数26上得32，乘10得320，再加上两个尾数的积即6×3＝18，320＋18＝338。

第四讲除法速算

除法是乘法的逆运算，乘法是扩大倍数而除法是缩小倍数。在速算方法上不同于，除法绝大多数算题是除不尽的，所以给速算带来很多不便，下面仅就一两位算题作个抛砖引玉吧。

一、5除任意数的除法

5除任意数，可以用2乘，将小数点往左移动一位即为求得的商数。如26÷5＝5.2计算程序是：26×2＝52，将小数点往左移一位，即得5.2

二、25除任意数的除法

25除任意数，可以用4乘，小数点往左移动两位，就是求得的商数。如32÷25＝1.28计算程序是：32×4＝128，小数点往左移动两位，即得1.28

三、125除任意数的除法

125除任意数，可以用8乘，小数点往左移动三位，就是应求得的商数。如16÷125＝0.128

四、2，4，8，16，32的除法

2，4，6，8，16，32除任意数，可以用半数法计算，就是用5乘，除数是2的几次方就折几次半数，除数是2就折一次，如16是2的4次方，就折4次半数。如32÷4＝84，4是2的2次方，折两次半：32一半是16、16一半是8，32÷4就得8。

第五讲空珠乘法

一、积的定位法

珠算是用珠表示数字的，零在算盘上没有表示，所以需要定位。公式定位法，这是大家普遍用的方法。被乘数位数加乘数位数，确定积的个位就是公式定位法。也就是说，积的位数是被乘数与乘数的位数决定的。 被乘数与乘数的位数是多少?可以归纳为正几位，负几位和零位。

①被乘数与乘数的整数和带小数点的，就要看小数点左边有几位数，就是正几位数。

②被乘数与乘数是纯小数，而小数点右边带零的，带几个零为负几位。

③被乘数是纯小数，但小数点右边没有零，就是零位。

设被乘数的位数为m，设乘数的位数为n.求积的位数是由二种公式决定的。

1.积首小于两因数的首位，用m＋n

2.积首大于两因数的首位，用m＋n－1

如果积首数与两因数首数相同时，可比第一位、第二位、第三位等。

二、什么是空珠、指示珠

1、什么是空珠

空珠这个词，实际上就是数学里讲的补数，为了让广大读者便于掌握，把它通俗化叫做空珠。

空珠就是把乘数凑成一个整数，成为互补的数就是空珠，也就是一位数变10，二位数变100，三位数变1000，依此类推，就是把乘数变1的无限大，10的N次方，变上这个数就是空珠。如：8＋2＝10，如果8是乘数，2为空珠，反过来，2是乘数，8是空珠，它们互为空珠，乘数是68，空珠为32，乘数389，空珠是611，依此类推。认识什么是空珠后，要注意以下几点：

①前后带零的数码，就把零去掉，如：350，空珠为65，0.035，空珠为65

②数码中间是零时，空珠为9。如：705的空珠为295。

③数码前位是9，空珠为0，如：98，空珠为02，998，空珠为002

2、什么是指示珠

将被乘数凑成整数的珠，就是指示珠。指示珠与空珠不同，空珠是与乘数互为空珠的，而指示珠是将被乘数凑成整数，它不一定是凑成整十整百整千的，而是凑成10、20、30......100、200、300......。如：被乘数是8，指示珠为2，被乘数为18，指示珠示2，而不是82，被乘数是198，指示珠是2，而不是802，被乘数是998，指示珠还数2，而不是002。

指示珠，是发布命令的珠，在空珠速算里，加几个空珠或减几个空珠，都由指示珠来决定。

被乘数是8，指示珠为2，被乘数76，指示珠24，总之，把被乘数凑成整数的数为指示珠。

注意一点：正指示珠，这是数字较小而设计的，如981，末位1为正指示珠，就直接减一个空珠就可以了。

三、基础法

被乘数是几就在下位减几个空珠，剩下的数必须是几个乘数。

1乘1本来就是1，如果将1扩大10倍，实际扩大了9倍，这个扩大的9倍，正好是乘数的空珠。所以，被乘数扩大10倍后，减去空珠，就是积数。

乘数1加空珠9等于10，用10去乘被乘数1就等于10，这个10里，一共包括两个积的和，一个是1×9的积，一个是1×1的积，我们想要得到1×1的积累，就必须从被乘数10里减去1×9的积，剩下的就是1×1的积。

通过1乘1的道理，可以推算出这样一个结论，任何数用十、百、千、万去乘，可以直接将被乘数扩大十、百、千、万倍，扩大后的总数里，包括两个积，要想得到被乘数与乘数的积，就必须从总数积数里减去被乘数与空珠的积。剩下的必须是被乘数与乘数的积。如：98×75＝7350，乘数75，空珠25，75＋25＝100，用100去乘98，不用乘，只是在98的下位加两个0，得9800，这9800位总积数，它包括两个积的和，一个是98×75的积，另一个是98×25的积，要得98×75的积，必须从9800里减去98×25的积，剩下的就是98×75的积。

算式：98×100－98×25

从算式看出，98×25的积，不容易算，为了简捷，可将98变成100，也就是减100个25加2个25，就是减98个25了。

算式：98×100－100×25＋2×25

9800－2500＋50＝7350

从上述算式演算中，推导出一个计算法则：被乘数末位以十为满珠，前一位一律以九为满珠，每位有几个指示珠，就在下位加几个空珠，然后从首位固定减一个空珠，就是乘积。

在具体运算中，可归纳三种类型，大、中、小数码。分述如下：

1、大数码类

被乘数是大数码，指示珠就是小数码，加减空珠小，易于运算，并有高速度。