等量关系式范文1

一、应充分认识到两种粒子物质的量换算关系的计算价值

大家都知道初中化学计算以质量为中心，高中应构建以物质的量为中心的计算体系。物质的量在高中化学计算中的中心地位体现在哪些方面呢？我认为主要体现在两个方面：首先体现在物质的量处于同一种粒子不同量换算关系网络的中心，这是大家所熟知的；其次体现在物质的量之比是两种粒子各种换算关系的中心。即两种粒子的换算关系无论是同种量之比，如质量之比、气体体积之比（同温同压下）以及溶质与对应离子的物质的量浓度之比（同一溶液中）等，还是不同种量之比，如物质的量与质量之比、质量与气体体积（标准状况）之比，等等，都可以在物质的量之比基础上推算得出。同时，由于物质的量之比在既定两种粒子的各种换算关系中数值最小、计算最便捷，导致物质的量之比成为换算关系运用的主流形式。高中化学计算究其本质主要是两种不同粒子之间的计算，正确构建两种粒子的量关系是进行两种不同粒子量之间换算的桥梁和关键。由此可见，正确构建两种粒子（或物质）之间物质的量换算关系在化学计算中起着至关重要的作用。

二、掌握构建两种粒子物质的量换算关系的基本方法

在人教版初中化学中，化学式和化学方程式的定量意义可用微观粒子个数和宏观质量两种量揭示。实际计算中，没有单纯利用粒子个数关系进行的计算，主要是依据化学式和化学方程式中蕴藏的两种粒子质量关系进行的计算。但提取出粒子个数关系是推算质量关系的基础和必经之路（事实上物质的量关系在其中起桥梁作用）。由此可见，有关化学式和化学方程式的计算虽然用到的是质量关系，但离不开粒子个数关系的奠基。

中学化学计算体系中，计量粒子数目多少的方式有两种：一种是以单个的方式来计量叫粒子个数，习惯上称为粒子数；另一种是以集合体的方式来计量叫物质的量，并且两者之间存在固定的换算关系即阿伏加德罗常数。由此可知，在一定情形下如化学式或化学方程式等一定时，只要同时采用相同的计量方式，其中任意两种不同粒子的数目关系就一定，即在一定情形下，任意两种不同粒子的粒子个数之比等于物质的量之比。而平时从定量的角度认识物质的构成及其发生的化学变化，往往从微观粒子之间的个数关系着手，并且在微粒之间的多种量关系中个数关系涉及的知识最基础、数据最简单、得出最方便。因此，首先从化学式或化学方程式等条件中提取出粒子个数关系，进而转化为物质的量关系，是构建两种粒子物质的量换算关系的基本方法和主要途径。

三、精心设计构建两种粒子物质的量换算关系的起始形成教学

1. 起始形成教学中存在的问题

无论是从人教版、苏教版和鲁教版这三种新教材的编排来看，还是从实际教学的安排来看，关于两种不同粒子的个数之比等于物质的量之比这一结论的起始形成与运用教学，基本上都安排在“阿伏加德罗常数”之后、“摩尔质量”之前，而且都是以化学式作为研究对象，即本质上把物质的量应用于化学式的计算教学作为粒子个数之比等于物质的量之比这一结论的起始教学。但从实际教学过程与效果来看，这部分教学内容的选择、组织以及安排等方面还存在不少问题，致使教学效果不够理想。那么现行物质的量应用于化学式的计算教学究竟存在哪些问题？经归纳后得出问题主要有：

（1）物质的量应用于化学式计算的教学隐性化

很多教师把物质的量应用于化学式的计算教学，与物质的量与粒子个数的换算教学混杂在一起，并隐藏于其中，导致为形成物质的量与粒子个数换算公式所举的例证类型不单一，严重干扰了物质的量与粒子个数换算公式的自然生成。同时由于物质的量应用于化学式的计算教学环节没有在教学中单列凸显，导致学生对物质的量应用于化学式的计算内容认识模糊、肤浅。

（2）忽视结论的起始形成教学

有的教师把由物质的量与粒子个数换算公式推导出的粒子个数之比等于物质的量之比（同种粒子），直接用于化学式的计算（不同种粒子之间），学生感到非常突兀。缺失结论粒子个数之比等于物质的量之比的形成教学，必然致使学生对结论缺乏透彻全面的理解，运用难以灵活自如。事实上物质的量用于化学式的计算依据虽然表述与前者相同，但形成过程以及适用范围是不同的。

2. 立足教材解决问题的方法

那么立足教材现状如何解决实际教学存在的主要问题呢？笔者认为，应把物质的量应用于化学式的计算教学，与物质的量应用于化学方程式的计算教学同等对待，进行主题显性化教学。这样做不仅可有效解决问题，而且可促进相关计算整体教学效果的提升。具体做法如下。

（1）通过比较吃透教材

如果围绕研究主题对三种教材先逐一分析再进行比较将发现，尽管三种教材正文对物质的量应用于化学式的计算内容处理方式与编排内容各不相同，如苏教版凸显结论粒子个数比等于物质的量比在化学式计算中的应用，鲁教版凸显结论粒子个数比等于物质的量比的形成过程，人教版保持了老教材原有省略的做法；但共同点是正文末尾的习题中都安排了相关习题。这些事实充分说明了三种教材都一致认为物质的量应用于化学式计算教学的必要性和重要性。事实上，物质的量应用于化学式的计算与物质的量应用于化学方程式的计算同等重要，两者是高中化学计算中的两种重要的基础性计算类型。

（2）运用整合设计教学

如何进行物质的量应用于化学式计算的起始教学呢？由于单一粒子物质的量与粒子个数的换算与物质的量应用于化学式的计算是两类不同的计算，宜应采用先分类后综合的教学策略。分类教学显然先单一粒子物质的量与粒子个数换算后物质的量应用于化学式的计算。下面就围绕物质的量应用于化学式计算的起始教学设计这一主题将自己实践与思考介绍如下。

①从物质的量的视角认识化学式结论的形成教学

从三种教材的编排来看，只有鲁教版呈现了引导学生从物质的量视角认识化学式获取新认识的过程。鲁教版旨在用“图”引导学生运用刚学的物质的量与粒子个数的换算关系，以及初三所学化学式的微观定量意义，通过自主、探究和合作的学习方式解决问题。但“图”中由于采用了3个可逆符号，导致推导线路思路不明确、难分辨。为此，实际教学时，笔者将“图”中可逆符号换成单向箭头符号，并将水分子个数由已知还原为未知。改进后的“图”为：

不难看出，改进后的“图”较原图问题指向明确，解决问题线路清晰。然而实际教学中如何用“图”效果好呢？教学实践表明，教学中可先不提供“图”，而让学生充分思考：1molH2O中有多少mol的H，多少mol的O？当独立想到上“图”思路的学生介绍后，再投影改进后的“图”。这样做能有效激活学生的思维，更好地落实新课程理念。同时教师逐步板书：

H2O——2H——O

粒子个数之比 1 ∶ 2 ∶ 1

物质的量之比 1mol ∶ 2mol ∶1mol

引导学生得出结论：对于任意两种粒子，粒子个数之比等于物质的量之比。

②结论的应用教学

化学式主要包含共价分子的分子式，离子化合物的化学式以及复杂离子的离子符号等。物质的量应用于化学式计算的基本类型，从已知与未知粒子的大小差异来细分，主要包括由大粒子（整体）求小粒子（部分）和由小粒子（部分）反求大粒子（整体）两种涉及物质的量计算的类型。为了提高结论应用教学的有效性，必须加强练习选择的针对性和组织的层次性。具体习题分层安排如下：

题组I（运用化学式中任意两种粒子个数比等于物质的量比的计算）

⒈5mol CO2含有 mol C， mol O。

⒉把1mol Al2（SO4）3溶解于水后，溶液中有

mol Al3+，有 mol ■。

⒊ mol Fe3O4中含有1mol O，含有 mol Fe。

题组II（运用同种粒子物质的量与粒子个数换算关系以及化学式中任意两种粒子个数比等于物质的量比的综合计算）

⒈1mol NaCl中的氯离子数 。

⒉1mol H2SO4中的氧原子数 。

⒊0.1mol ■中含有 N，含有 个H。

⒋ mol Al2O3中含有6.02×1023个Al原子。

题组III（依据粒子个数比等于物质的量比运用化归方法的计算）

⒈3mol O2和2mol O3中分子个数比是 ，原子个数比是 。

⒉5mol O2、1mol N2、2mol H2中含分子数由大到小的顺序是 。

⒊ mol CO2中含有的氧原子数跟1.806×1024个H2O分子中含有的氧原子数相同。

这里只是物质的量应用于化学式计算的起始教学，事实上物质的量应用于化学式的计算以及结论粒子个数之比等于物质的量之比应用范围都很广，为提高计算教学的整体效果，应采用整体规划统筹安排分步实施的策略。

四、充分重视两种粒子物质的量换算关系构建方法的训练环节

等量关系式范文2

关键词：CVP关系 拓展 运用

一、CVP关系的逻辑变化形式与构建

在经济活动中，成本、业务量、利润是三个基本的参量，它们之间的关系用等式表示是：收入（业务量乘于单价）-成本=利润。这一关系式大家都比较熟悉，同时在日常经济生活中运用得比较广泛。假如，某一投资者，考虑是否合算，一个最普遍的思考方法，就是用所获取的收入减去投入的成本，剩下的利润有多少，从而来策选其经济行为。但从财务管理更高层面上来看，不能仅限于这种简单的运用和思考。以成本、业务量、利润三者最基本的量式关系开始，可以将其进一步分析研究，使得三者关系量式有进一步的拓展。为了表示的方便，经济指标用字母下列字母来表示，同样，其关系量式用公式来表示。利润用R来表示，业务量用X表示，单价用P表示，成本按照与业务量变化的依存关系，将成本分为固定成本与变动成本，固定成本不受业务量变化影响，用A来表示，变动成本与业务量成正比关系，业务量大，所费成本就越大，业务量小，所费成本也就越小，所以变动成本表示为BX，其中B为单位变动成本，很显然，变动成本为单位变动成本与业务量的积，从而成本可以表示为A+BX。

经过上述假定与分析，成本 、业务量、利润三者关系量式可以用下列式子表示：R=PX-（A+BX）。将该式子称为本量利基本等式，对此式我们可以做如下拓展。

（一）交换变化逻辑关系

根据初等数学交换规律，将本量利基本等式移位写为：

R=PX -BX-A，再整理为R=（P -B）X-A。

若P、B、A为常量时，显然上式是二元一次方程，反映利润与业务量之间的变化规律，为比较直观，令P -B=C，则等式可以演变为R=CX-A。等式表明，若要获取一定利润，只有在满足CX≥A条件。假设不考虑A，即没有固定成本时，则获取的利润就是C与X的乘积，这是C这个变量似乎是利润的贡献量，令X=1时，利润就是P和B之间的差额。因此，根据C的特性，将C称为单位边际贡献，CX则称为边际贡献。从对等式交换整理过程中可以看出，边际贡献是销售收入与变动成本之间的差额，它剔除了固定成本，这对于生产能力充足有余情况下进行决策分析是非常有意义的。

（二）假定分析逻辑关系

从基本等式表明利润与P、B、X、A因素有关，因此可以从每一因素的变动来考察对利润变动的影响。例如，假定P变动，从原来的P变为现在的P，其它因素不变，则利润的变动相对量是SR=[（P -B）X-A]-[（P -B）X-A]=SP・X，利润变动率R′=SR/R=SP・X/R，SP=R′・R/X，所以单价的变动率P′=SP/P=R′・R/X/P=R′・R/XP。此式的经济意义，就是说利润要提高多少，达到什么样的利润目标，即实现数量（1+R′）R的目标利润，则需要提高或降低价格的变动率就可以通过等式P′=R′・R/XP计算。同样的原理，可以得出变动成本的变动率=R′・R/BX，销售量变动率=R′・R/CX，固定成本变动率=R′・R/A。

（三）多式展现逻辑关系

量本利基本等式仅是根基人们最基本的经济常识表达的一个等式，通过拓展，也有其它的表现形式。基本等式R=PX-（A+BX），一目了然反映利润是收入减成本。再稍作变动-A=CX-A，这一等式反映了利润是边际贡献与固定成本之差。等式可以写成A=（PX -BX）-R，若知道其它量，可以求出其中另一个量，因此，等式还可以写成X=（R+A）/（P-B），B=（R+A-PX）/X，P=（R+A-BX）/X。这些等式的表示，都是由本量利基本等式推导而来。

（四）设定测算逻辑关系

若令R=0，即利润为零时，0=PX-（A+BX），PX=A+BX，意味着业务收入与成本是相同的，在这时，既不盈，也不亏，所以我们把这种状态称为保本状态或盈亏平衡状态，处于此种状态的业务量称为保本量或盈亏平衡量，这一业务点可以通过等式来进行计算，X=A/（P-B）。那么保本销售额=PX=PA/C。同样，若目标利润确定，根据3中的公式分别预测P、X、B、A中的任意一个量。

二、CVP关系在企业管理中的应用

CVP关系，不只是为了做理论上的分析研究与探讨，更重要的是可以利用本量利关系来解决企业的许多财务管理有关问题。主要表现在如下几个方面：

（一）企业经济目标的有效预测

企业出于各种目的，要对一些情况进行预测。通过本量利关系，可以帮助企业达到预期的目的。如进行目标利润预测、售价预测、销售量预测、成本预测、保本点预测。这此预算都可以根据上述拓展的公式进行计算。我们以销售量预测为例进行说明。假如某个企业要达到实现100万元的利润目标，产品和市场的情况是，产品市场价格是每件10元，单位变动成本5元，固定成本20万元，那么该企业要完成的销售量是多少？此类问题，通过本量利关系就可以预测其结果，本量利基本关系式：R=PX-（A+BX），即R=（P -B）X-A，则X=（R+A）/（P -B），根据题干提供的条件，R=100万元=1000000元， A=20万元=200000元， P =10元，B=5元，代入式中，X=（1000000+200000）/（10-5）=240000（件）=24万件。根据这一要求，企业权衡其销售任务的轻重，制定本企业的销售策略，组织销售部门，完成销售任务，否则，企业无法实现目标利润。从销售量预测为例可以看出，企业预测的重要性，要进行有效的预测，本量利关系提供了科学预测的依据，有了可靠的科学预测，才能决定企业的计划和行动目标，采取相应的策略来达到企业所要实现的目标。

（二）企业决策的科学依据

企业在经营活动中，有多种经营方式可以选择，因此，企业要进行决策分析，比如新产品开发的决策分析。进行这些决策分析，企业管理高层通过开会拍脑袋是拍不出来的，要采用一定的技术手段和方法，得出相应的结果，通过比较分析，最终才能决定取舍。同样，我们以是否接受追加订贷的决策分析为例，假定某企业接受另一企业的邀约，签订买卖合同，为该企业生产某种产品，本企业生产该种产品的平均成本为10元，而该企业要求价格是9元，数量是1000件，假定本企业有剩余生产能力，企业的单位变动成本为5元。从题干的条件反映，对方的订价明显低于成本价，订价偏低，从表面来看，明显是一个吃亏的买卖，是不可取的。但是，我们根据本量利关系进行计算分析，会得出相反的结果。企业既然生产能力有剩余，也就意味着企业生产设备闲置，所以在考虑追加订货时，可以不考虑固定成本，则边际贡献=（9-5）*1000=4000元，也就是说，若接受追加的订贷，企业可获取额外利润4000元，增加了企业的利润。既然对企业有利，那当然可以接受。企业的经营目的就是利润最大化，因此，从此例分析可以看出，企业在进行决策分析时，可以借助本量利关系来进行决策分析，可从中获取意想不到的效果。

（三）企业管理的有效控制

企业的经营目的就是获取利润，如以达到最大化，可以进行差量分析，找出与计划或标准制度发生偏差的原因等。常用的方法有：一是公式法。即直接套用上述一些等式来计算，分析时是通过已知参量的逻辑关系，来求得其它未知参量。二是分析法。即在根据等式结果的基础上，加以分析比较。这种方法对解答一些较为复杂的问题，应用较多。三是比较法。根据相关等式计算，之后对计算结果加以比较，是利是弊，就比较直观。僻如，企业需要的零部件，是进行采购还是自制的决策分析就可以通过比较法。具体操作过程是，先把外购和自制两种情况所需的成本计算出来，然后比较两者的大小，最后决断采用哪种方案最优。比较法在企业的决策分析中应用的广泛，比如成本测算问题，可以仅将一定期间所发生的变动成本计入产品成本，把固定成本作为期间成本，在当期损益中扣除，进行这样的处理，与传统成本分析方法，把一定期间所发生的全部成本都计入产品成本，会引起期末存贷过高，当期计算出来的利润偏低，企业就有可能选择放弃，从而错过商机，给企业带来不利损益。因此，只考虑变动成本，放弃固定成本，对企业短期决策提供了重要科学依据。

三、CVP关系在非企业单位中的应用

CVP关系原理，不仅在企业的决策、计划和控制中具有广泛用途，有着十分重要的意义。同时，本量利关系原理，对以非盈利组织，如行政机关、部队、学校等其它组织抓好管理工作、提高工作效能也具有十分重要的意义。

（一）加强工作预见性

非盈利组织虽不以盈利为目的，但是同样要追求效益和效能，避免产生负效益和负作用。因此，要加强工作计划性，增强预见性，避免盲目性。一是经常开展社会调查研究工作。有针对性地开展社会调查活动，或进行一些追踪调查，吸取丰富真实详实的信息资料，为预测准备第一手材料。二是整理筛选信息资料，对相关因素进行量化分析，并根据各因素对工作成效的影响程度，对各因素进行量化，确立指标体系。三是建立操作性较强的评估方案。结合工作实际，设计评估模式，根据各指标的关联性，设立数学模型，然后根据本量利关系，对一些因素进行预测，若确立或知道其中某些指标后，求出某一指标的量，然后对之进行可行性分析研究，确定本单位或本科室的工作目标和工作计划。

（二）加强科学决策

根据本量利关系原理，一是根据预测情况和有关信息资料，多层次、多角度、全方位地选定一些备选方案，为决策工作做好充分准备。凡事不要过于简单化，多设计几个工作方案，然后从优抉择。二是把备选工作方案具体指标量化。工作业绩、业务量、成本等因素根据其工作特性，可以将其量化，并通过它们的数量变化关系，对数据的比较分析，根据比对的结果，确定其最优工作方案。三是科学的决策决定科学的行为。在确定业绩、业务量、成本等因素数量时，尽管带有个人的主观性，同时又不是绝对标准，但为决策提供了可靠的基础，这样就可以避免决策只是拍拍脑袋、个人的主观专断。为了使科学决策贯彻落实，要对项目进行绩效评价，根据评价结果来进行问责。尤其对于财政资金，往往存在只顾要钱，不问花钱情况，致使财政资金不能发挥效能。因此，我们要加强项目绩效评价工作，谁花钱，谁负责。使之接受社会评价、接受专家评价。

等量关系式范文3

【关键词】方程；解方程；等式；等量关系；代数思维

《小学数学课程标准》中对方程的说明是掌握用方程表示简单的数量关系、解简单方程的方法，新课标改变了小学阶段解方程的要求，采用等式的性质来教学解方程，加强了与中学方程教学的衔接。因此，在小学阶段，我们就应鼓励孩子多用方程的方法，培养他们运用方程的意识。

一、重视基础，早作孕伏

学生在解题的过程中，不喜欢用方程，很大的原因是不习惯把题中的未知数当作已知条件。学生对“方程”的理解比较形象化、表面化，一说方程仅出现方程的样子，而忽略在列方程时，未知数当作已知条件参与到列式的特点。因此，教师要重视“用字母表示数”、“方程的意义”两课的教学。如在教学“用字母表示数”一课后的练习中，让学生进行了大量的用含有字母的式子表示数量、数量关系的练习。又如，在教学“方程的意义”时，我出示大量的图或文字，让学生尝试列方程。因此，这两节课的教学，教师不宜图快，而是要让学生扎扎实实的理解方程的意义和特点，初步感知列方程的方法。

二、狠抓关键，教给方法

1.教给学生找等量关系的方法。例如，按照事情的发展顺序找等量关系；根据常用的数量关系找等量关系；根据公式找等量关系；分析“关键句”找等量关系等方法，有许多老师已经进行了介绍，这里不再一一阐述。

2.给学生充分说题中等量关系的时间和空间。在学生列方程解应用题之前，我总是先让学生充分的说题中的等量关系式，如，“修一条长1500米的路，已经修了一部分，还剩600米没修”，让学生根据这句话找出等量关系，学生很快找到了：总长度-已修的长度=剩下的长度；已修的长度+剩下的长度=总长度；总长度-剩下的长度=已修的长度。在学生找出的等量关系式中，注意引导学生进行比较，哪种等量关系式更好的体现了把未知数当作已知条件参与到列式中。

3.在初学列方程解应用题时，要让学生在列方程之前先写等量关系式，并注意引导学生关注自己列的方程要与等量关系式相对应。

4.教给学生列方程的技巧。例如，果园里有桃树和梨树共120棵，桃树的棵数是梨树的2倍，两种树各有多少棵？题目里有两句表示关系的句子。一句是表示两数和的。教学时先引导学生写出关系式，即桃树的棵数=梨树的棵数×2；桃树的棵数＋梨树的棵数＝120棵。再引导学生根据表示倍数关系的式子设未知数（一般设一倍数为X，另一个数则是几X）根据和数找等量关系列方程。最后总结出：“已知两数和（或差）及它们的倍数关系”这一类应用题的规律是：根据两数和（或差）找等量关系，根据两数的倍数关系设未知数。

三、注重比较，提高认识

在学生解应用题的过程中，要重视学生将方程和算术方法进行比较，体会方程方法的方便。如“李强每分钟打字120个，比王丽的2倍少16个，王丽每分钟打字几个？”这种类型的应用题用方程学生很有可能为了省力用算术方法解，结果错误百出，常见的错误有：120×2－16；120×2＋16；120－16×2；（120－16）÷2等，但用方程解最简便也最不易出错，因此，我们要重视比较，让学生在比较中感受方程的简便。

对“列方程解应用题”我也有我的困惑：

1.许多学生会列方程了，但是在解方程的过程中感到困难，解方程的方法较单一。如a－x=b和a÷x=b，像这样方程的解法还讲吗？如果不讲会给学生带来困难，如果讲，讲到什么程度呢？是运用等式性质两边同时加x和乘x,还是借助代数知识讲解。

2.分数除法应用题。我们老师常说，学生喜欢用算术方法，我想那是因为老师过于强调“单位‘1’=对应数量/对应分率”这个公式的原因。而新教材，在这一部分，只讲到了方程的方法，没有提出算术方法，那么在讲分数除法应用题时，是否可以不讲算术方法？以上是我对“列方程解应用题”的一些看法和困惑。在我的教学中，我始终主张，不束缚学生用一种方法，根据学生自己的理解能力进行选择，但同时我也认为，方程的方法应该在小学阶段成为学生常用的方法，不能因为种种的原因，忽略方程方法的运用。

【参考文献】

[1] 教育部制订《数学课程标准》北京师范大学出版社；2001年第1版

等量关系式范文4

1.作直角三角形（直角在右下角），标出新变量（直角三角形左下角位置）如图1；

2.根据被积函数的特征，直角三角形的三边用x，a，及含有x，a的代数式标出；

(先标斜边，再标t的对边，标t的对边原则是：首先必须含x，其次代数式尽可能的简单)

3.在直角三角形中，观察新变量t，原变量x，常数a.列出三者之间的等量关系既是所做的三角变换；

4.再根据上面的三角形求出sint，cost与三角形的三边之间的等量关系。

第二步：根据被积函数的特征，直角三角形的三边用x，a，及含有x，a的根式标出；

(先标斜边，再标t的对边，标t的对边原则是：首先必须含x，其次代数式尽可能的简单)

第三步：在直角三角形中，观察新变量t，原变量x，常数a.列出三者之间的等量关系既是所做的三角变换。

从图中可以看到：新变量t，原变量x，常数a三者之间的

第二步：根据被积函数的特征，直角三角形的三边用x，a，及含有x，a的根式标出；

(先标斜边，再标t的对边，标t的对边原则是：首先必须含x，其次代数式尽可能的简单)

第三步：在直角三角形中，观察新变量t，原变量x，常数a，列出三者之间的等量关系既是所做的三角变换；

从图中可以看到：新变量t，原变量x，常数a三者之间的等量关系为：tant=

a+sect・asec2tdt=∫sectdt= In(sect+tant)+ C1

第四步：再根据上面的三角形求出sect，tant与三角形的三边之间的等量关系。

第二步：根据被积函数的特征，直角三角形的三边用x，a，及含有x，a的根式标出；

(先标斜边，再标t的对边，标t的对边原则是：首先必须含x，其次代数式尽可能的简单)

第三步：在直角三角形中，观察新变量t，原变量x，常数a.列出三者之间的等量关系既是所做的三角变换；

从图中可以看到：新变量t，原变量x，常数a三者之间的等量关系为：sect=+C)

C=Ina+ C1

该步骤与各类《高等数学》教材中用三角代换求不定积分步骤最大的区别是：先画三角形，根据被积函数的特征，直角三角形的三边用x，a，及含有x，a的根式标出。然后在直角三角形中，观察新变量t，原变量x，常数a.列出三者之间的等量关系做代换。该步骤解决了学生对公式的死记硬背，能够灵活解决这类问题。

等量关系式范文5

关键词：等量关系、关键语句、不变量、公式定理、比列、数形结合、数学思想

列方程解应用题要做到“一读、二找、三列、四解、五检验、六答、”。“一读”就是读懂题意，确定哪个未知量用x表示；“二找”就是找准主要一等量关系；“三列”就是根据找到的等量关系列方程；“四解”就是解方程，求出未知数x的值；“五检验”就是把x的值代入原方程，看方程左右两边是否相等；“六答”就是写出答案。在这六步中，“二找”，也就是找准主要等量关系非常重要，是方程解应用题的关健。列方程解应用题问题时，比较困难的一环常常是同学们不知

如何着手去找等量关系。又由于应用问题类型繁多，等量关系千变万化，什么工程问题，行程问题，浓度问题，等等。那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢？下面我根据多年从教总结出来的经验来谈谈以下几种找等量关系的途径，供同学们参考。

一、根据关键字或关键词找出具有相等关系的语句直接写出等量关系

经常见到的具有相等意义量的词有：是、比、当然，像“一样”“相等”“同样”等直观意义的词更容易找出。正确分析这些关键词所表示的具体含义是找出等量相等关系的关健。

列1：甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人故是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？

分析：在本题中抓住“是”字便可发现相等关系：抽调后甲队人数=抽调后乙队人数×2，即这个“是”字便充当了等号的角色。

评注：在解答应用题时，若题目中出现诸如“几倍、共、多、少、快、慢、提前、超过、增加、相差”等关键词语时，应抓住它们进行分析，以使相等关系显现出来。

二、运用公式或定义式作为等量关系

我们学过的公式或定义式有许多，如：时间×速度=路程，单价×数量=总价，工作效率×工作时间=工作总量等，以及大量的面积、周长、体积计算公式。但是，单单掌握这些还不够，我们要学会“举一反三”，由每个公式都能退出它的任意两种变形式，如由公式：时间×速度=路程，应能退出：路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，这样我们才能说真正掌握了这个公式。

例2：商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元，商品的原价是多少元？

分析：根据公式，商品利润率=商品利润÷商品进价，

可得相等关系：10%=调价后的利润÷1600.

评注：解答应用题时，要注意分析找出不变量，即相等变量，如：两人由两地同时出发相向而行，相遇前的时间相等；等体积变形种的体积不变。

例3：初一2班第一小组同学同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩9个，若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少同学，共摘了多少个苹果？

分析：再次问题中苹果总数是不变的量，设第一小组x个学生那么苹果数目可以用（3x+9）表示，也可以用5x-（5-4）来表示。从而可以得出变量关系

3x+9=5x-（5-4）来表示。从而可以得出变量关系3x+9=5x-（5-4）。

评注：此方法常用于解决方案类型的题目，题中明显的关键词为“若”（或它的同义词）。此类题一般有两套方案，不同方案中大部分数据也不同，而我们要做的就是找出在两种方案中没有变动的数据，也就是不变量，从而列出等量关系。类似的题型还有年龄差问题（抓住年龄差不变），往返问题（抓住往返行程不变）等，请大家自己多加归纳总结。

四、画出示意图看出等量关系

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数于形是有联系的，这个联系称之为数形结合。数形结合就是把抽象过的数学语言，数量关系与直观的几何图形，位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。初中学习的“形”，暂时只涉及平面图形而我们解应用题所要用到的“形”一般是线性示意图。

例4：小明与小兵家分别在相距20km的甲、乙两地，星期天小明从家里出发骑自行车去小兵家，小明骑车的速度为13km/h。两人商定30min后，小兵从家里出发骑自行车去接小明，小兵骑车的速度是12km/h。那么小兵要骑车多久才能与小明相遇？

分析：根据题意设小兵要骑车xh才能与小明相遇，画示意图如下。

那么，很容易就可以从图上看出等量关系：

小明先走的路程+小兵出发后小明走的路程+小兵走的路程=甲乙两地的距离

评注：由上题可以看出，利用示意图可以很方便解决类似于行程方面的问题，当然我们以后将要学习的韦恩图也可以很好的用来解决有关集合方面的应用题。

五、利用正比例获得等量关系

在小学，学生就已经解除了比例，当然小学所学的比例全是正比例，也很少将其直接用于解应用题，因为正比例只有在结合几何图形时才能真正发挥出它的“威力”。由于学生暂时还没有深入学习几何知识，我们先看下正比例在代数方面的应用。

例5：已知制成腊肉的重量与所需鲜肉的重量成正比例。现已知6kg鲜肉可以制成5.25kg腊肉，那么18kg鲜肉可以制成多少千克腊肉呢？

分析：因为知道制成腊肉的重量与所需鲜肉的重量成正比例，那么我们没必要算出每kg鲜肉可以制成多少腊肉，只需了解两次制腊肉过程都符合同一正比例。

由此设可以制成x kg腊肉，由正比例知识有：

正比例方法在以后的几何学习中将会频繁的用到，届时涉及到的图形比例的有关应用题都可以用它来解决，如影子问题，测量问题等等。熟练掌握它来解题，将会受到事半功倍的效果。

结束语

方程是刻画现实世界中数量相等关系的模型。有了这些寻找等量关系的累计，学生会越来越灵活地根据具体的问题情境，寻找相应的等量关系，并能举一反三，在等量关系“多样化”的基础上，实现方法的“优化”。当然，确定等量关系的方法不止以上几种，我们在学校时要注意总结，力争找到更多更好的方法。

参考文献

【1】《世纪金榜》主编 张泉 延边大学出版社

【2】《2008 云南中考抢分计划一本通》主编 檀木 吉林人民出版社马复

等量关系式范文6

初中数学应用题既是初中数学教学的重点和难点，又是学生学习数学的分化点，化解这一问题的关键在于培养学生的数学应用题解题能力。

【关键词】初中；数学；能力；培养

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1009-5071(2012)02-0216-01

1 帮助学生归纳几种常见的基本数量关系

数学应用题大多来源于实际生活，都有其基本的数量关系。例如行程问题的基本数量关系式为：路程=速度×时间；工程问题的基本数量关系式为：工作总量＝工效×工时；农业生产问题的数量关系为：总产量＝单产量×数量；买卖问题的数量关系为：总价＝单价×数量；商品问题的数量关系为：利润＝售价-进价；浓度问题的数量关系为：浓度=溶质质量÷溶液质量；银行储蓄问题的数量关系为：利息=本金×利率×存期等。掌握了这些常见的数量关系，能使学生有效克服茫然无措的问题。

2 让学生掌握列方程解应用题的一般步骤

列方程解应用题是初中数学教学的一个重要内容，掌握基本的解题步骤是十分必要的。

（1）审题。就是要弄清题目的情节、关键词语及题目中的已知条件和要求的问题，只有正确理解题意，才能明确解题的思维方向，找出解题途径。

（2）设元。一般有两种设法：①直接设未知数。②间接设未知数。通常情况下，一般都是把问题直接设为未知数，在直接设元使问题比较难以解答时，才选用间接设元法。

（3）找出能代表题目全部含义的等量关系式。一般要抓住题目中出现表示数量关系的关键词和题目中涉及的相等关系。这一环节可以联系已掌握的常见题型的基本数量关系，运用有关的计算公式建立等量关系，还可以借助于画图分析数量关系。

（4）根据确定的等量关系，列出方程。

（5）解方程。

（6）检验。检验时不能只看未知数的值是否符合方程的解，还要结合实际问题的意义来进行检验。

（7）写答，注意写明单位。

应用题解答练习，必须要求学生自觉养成按照解答步骤进行分析思考的习惯，贵在“坚持”。

3 加强列方程解应用题的基础训练

3.1 列代数式的训练。正确、迅速地列出代数式是布列方程的基础。可以用以下几种形式进行训练。

用数学语言叙述代数式。例如：5x+2（一个数的5倍与2的和）。

用代数式表示数量关系。例如：x的9倍与3的差（9x-3），比x的2倍还多10（2x+10）。

根据题意叙述代数式的意义。例如：学校买来a个篮球，每个80元，又买来5个排球，每个b元。要求学生叙述以下各式的意义：① 80a（表示a个篮球的价钱），② 5b（表示5个排球的价钱），③ 80-b（表示每个篮球比每个排球贵的价钱），④ 80a+5b（表示两种球的总价）。

3.2 找等量关系的训练。找出题中的等量关系是列方程的关键，训练时，可以先让学生找出日常生活事例中的一些等量关系。

例如：“小华到文具店买钢笔付钱找零”时，付出的钱-买钢笔的钱=找回的钱；买钢笔的钱+找回的钱=付出的钱。

3.3 把列代数式的训练和找等量关系的训练结合起来，进行列方程的训练（只列方程，不解方程）。

例如：（1）一块布长35米，做了15件同样的衣服，每件用布x米，还剩10米。等量关系是：原有的布-用去的布=剩下的布，列出的方程为：35-15x=10。

3.4 结合方程式自编不同意义的应用题。给出一个方程式，让学生分析其中的已知数、未知数之间的关系，编出各类不同意义的实际应用题，以提高学生把数学模型与实际问题进行互译的能力，同时也训练学生灵活、严密的思维习惯。

例如：由方程+=1，引导学生编出工程问题、行程问题等。

4 强化一题多解训练，培养学生思维的灵活性

有些应用题，由于结构和数量关系比较特殊，题中蕴藏着“多解成分”。如果我们从多种渠道、多个角度去分析思考数量关系，就可以找到多种解题途径，得到多种解答方法，培养学生思维的灵活性、广阔性和创造性。

例如：一项工作，由甲单独做刚好如期完成，由乙单独做则比规定日期多用3天。现在由甲、乙两人合做2天后，余下的由乙单独做也正好在规定日期内完成，求甲、乙两人单独完成各需要多少天？

设规定日期为x天，则甲单独完成要x天，乙要（x+3）天。

解法一：根据“甲乙合作的工作量加上乙做余下的工作量等于全部工作量”，列出方程。

解法二：根据“甲做的工作量加上乙做的工作量就是全部工作量”，列出方程。

解法三：根据“甲做2天的工作量相当于乙做3天的工作量”，列出方程。

比较这三种解法可以看出，解法一是工程问题的一般思路，算理简单易懂，但解法比较呆板欠灵活；解法二的等量关系明确，逻辑严密，既不落俗套，计算也比较简便；解法三的构思奇特，求异思维很突出，思路灵活，解法简单，有创新意识，这是解题的**方案。

5 培养学生形成数学建模思想的习惯

数学应用题大多来源于实际生活，通常先把实际问题抽象成数学模型，再用数学方法来解决。

例如：某市20位下岗职工在郊区承包50亩（注：1亩=666.67平方米，现为了学生方便联系生活实际，此处仍用“亩”作计量单位。）土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶和小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。

思路分析：本题从亩产值来看，种蔬菜的最高；从每人可创产值看，则小麦最高。但仅从这些去决定是不够的，如何科学、有效地安排生活、生产，就要借助于数学，把实际问题抽象成为数学模型，建立函数关系是较好的方法。设总产值为w元，种植蔬菜面积为x亩，根据图表提供的信息，把种植烟叶、小麦的面积都表示为含x的式子，建立w与x的函数关系式，再根据函数性质求出w的最大值。本题中实际存在三种关系：① 土地面积分配，② 职工人员分配，③ 产值的统计。因此，把这三种关系用数学语言表达出来，问题就会简单明了。

解：设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，小麦z亩，预计总产值为w元，根据题意得：

x+y+z=50 ①

x+y+z=20 ②

w=1100x+750y+600z ③

由①、②得：y=-3x+90 ④

z=2x-40 ⑤

把④、⑤代入③得：

w=1100x+750（-3x+90）+600（2x-40）

=50x+43500

又 x≥0，y=-3x+90≥0，z=2x-40≥0

20≤x≤30

由一次函数性质可知，当x=30时，y=0，z=20，w有最大值=45000元，此时种植蔬菜人数为15人，种小麦人数为5人。