数学归纳法范文1

关于数学归纳法的教与学阐述的是在教学实践中，身为教师既要掌握数学归纳法的理论，又要结合学生的实际情况讲授数学归纳法的知识点。事实上，在数学归纳法的教学实践中，有些教师不清楚数学归纳法和归纳法的区别与联系，认为数学归纳法就是完全归纳法，有些教师不了解数学归纳法的逻辑基础，有些教师只在意数学归纳法的形式，而忽视它的内涵.由于存在上述的种种问题，给学生造成了很大的困惑。在学习过程中，初学者克服数学归纳法使用程序性的心理障碍是较难突破的，学生因数学归纳法的程序性应用，而造成的思维定势的克服，也是一个需要解决的问题.

一、数学归纳法的逻辑基础在教学中的研究

数学归纳法被明确提出并广泛应用已久，但它的逻辑基础仍是不明确的。直至1889年，意大利数学家皮亚诺发表了《算术原理新方法》，建立起关于正整数的五条公理，才使严格意义下的数学归纳法得以进一步明确.

二、正整数五条公理：

（1）1是正整数；

（2）1不是任何正整数的后继者；

（3）每一个正整数都有一个后继者；

（4）若与的后继者相等，则与也相等；

（5）（归纳公理）若有一个由正整数组成的集合含有1，又若当含有任一数时，它一定也含有的后继者，则就含有全部正整数。

数学归纳法的逻辑基础，即数学归纳法原理.在解决数学归纳法逻辑基础的理解问题中，应从以下两个方面来分析：

其一，数学归纳法的逻辑基础是什么，作为教师要理解到什么程度，教师对待这

一问题的心理和态度.

其二，数学归纳法逻辑基础的教学如何进行，学生的学习心理和接受能力，学生

的理解程度、运用能力和意义.

数学归纳法的教学首先应当是一种程序教学.“程序”是数学归纳法最基本的层次，即数学归纳法证题的两个步骤和一个结论.具体地说，利用数学归纳法证明的步骤如下：

第一步，验证“命题在时正确”；

第二步，验证“若命题在时正确，则在时也正确”.

如果这两个验证都得以通过的话，就可以断言命题对一切正整数都成立.这就是我们通常所说的数学归纳法.

关于这一层次的初始教学，很多教师都采用了“实验-建模”的方法，效果明显，易于学生的理解和接受.其中，最经典的实验模型就是“多米诺骨牌效应”模型.

（1）实验过程

1、准备骨牌或军棋；

2、按顺序将骨牌或军棋排成立起来的长方体，每两个长方体间的距离一定，确保前一个长方体倒下，后一个长方体必定倒下；

3、实验开始，推倒第一个长方体，让学生观察结果.从第二个，第三个，…开始，多次重复上述实验.

（2）实验结果

推倒第个（或2等）.从第个以后的所有长方体依次“倒下”.这种现象称为“多米诺骨牌效应”.

（3）实验分析

条件：1、推倒第个（或2等）.

2、从第个起，假设前一个“倒下”，一定能使后一个也“倒下”.即第一个倒下能推倒第二个，第二个倒下能推倒第三个，第三个倒下能推倒第四个，…

进一步可以表示为：

假设第个（全且）“倒下”，那么第个“倒下”.

则实验条件可表示为：

①推倒第个（或2等）；

②假设第个（且）“倒下”，那么第个“倒下”.

结论：满足上述条件①和②，则从第个起，所有长方体骨牌依次“倒下”.

（4）实验建模

根据上面实验的启发，通过实验建立起数学模型――数学归纳法.

对于一个与正整数.有关的命题满足：

①当时（是使命题成立的第一个值），命题成立，即成立；

②假设当（且）时，命题成立，即成立，那么当时，命题也成立，即成立.

由①、②可得，对以后的所有正整数命题都成立.

（5）实验反思

在“多米诺骨牌”实验中，让学生思考以下问题：

①若不推倒任何一个长方体骨牌，其它长方体骨牌能全部倒下吗？

②若在立起的一排长方体骨牌的某一处取走几个长方体骨牌后，那么推倒第一个长方体骨牌能保证其它长方体骨牌全部倒下吗？

反思目的：让学生体会数学归纳法的两个步骤是缺一不可的，并且有效的消除了学生使用这一方法的心理疑虑，增强了使用的信心.

数学归纳法范文2

关键词： 数学归纳法 证明探索性问题 证明等式与不等式

数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

最早使用数学归纳法的证明出现于Francesco maurolico的Arithmeticorum libriduo。Maurolico证明了前n个奇数的总和是n,由此揭开了数学归纳法之谜。

常见的数学归纳法主要有以下几种：

（一）第一数学归纳法

（二）第二数学归纳法

（三）倒推归纳法

（四）螺旋式归纳法

其中,在中学最常见和简单的数学归纳法证明方法是第一种,证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的,应用广泛。在最近几年的高考试卷中尤其明显。下面我们就通过几道例题来具体看一下。

一、用数学归纳法证明与正整数有关的探索性问题

1.探索函数解析式

例1：已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lga（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在实数α、β，使f（n）=（αn+βn-1）lga对任何n∈N都成立，证明你的结论.

解：f（n）=f（n-1）+lga，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0.

又f（1）=-lga，

α+β=02β+4α=1，α=β=-.

f（n）=（n-n-1）lga.

用归纳法证明：

（1）当n=2时，显然成立.

（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k-k-1）lga，

则n=k+1时，

f（k+1）=f（k）+lga=f（k）+klga

=（k-k-1+k）lga

=［（k+1）-（k+1）-1］lga

当n=k+1时，等式成立.

综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=-，使f（n）=（αn+βn-1）lga对任意n都成立.

评析：该题是探索性问题．它通过观察归纳猜想证明这一完整的步骤去探索和发现问题，并证明所得出的结论是正确性的,这是非常重要的一种思维能力．

2.探索数列的通项公式

例2：设正整数数列{a}满足：a=4，且对于任何n∈N，有

2+＜＜2+.

（Ⅰ）求a，a；

（Ⅱ）求数列{a}的通项a.

解：（Ⅰ）由已知不等式得：

2+＜n（n+1）（+）＜2+①

当n=1时，由①得：

2+＜2（+）＜2+,

即2+＜+＜2+,

解得＜a＜．

a为正整数，a=1.

当n=2时，由①得：

2+＜6（+）＜2+，

解得8＜a＜10．

a为正整数，a=9．

a=1，a=9．

（Ⅱ）由a=1，a=4，a=9，猜想：a=n．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1，2时，由（1）知a=n均成立；

（2）假设n=k（k≥2）成立,则a=k,则n=k+1时,

由①得：

2+＜k（k+1）（+）＜2+?圯＜a＜?圯（k+1）-＜a＜（k+1）+.

k≥2时，（k-k+1）-（k+1）=k（k-2）≥0，

∈（0，1］.

k-1≥1,∈（0，1］.

又a∈N，（k+1）≤a≤（k+1）．

故a=（k+1），即当n=k+1时，a=n成立．

综上，由（1），（2）知，对任意n∈N，a=n．

评析：本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对学生的思维能力有较高要求；运用数学归纳法的关键是“由当n=k时成立，如何过渡与转换为当n=k+1时也成立.”运用数学归纳法证明，形成“观察―归纳―猜想―证明”的思维模式是解决本题的关键。

二、用数学归纳法证明不等式

例3：已知函数f（x）=x-sinx,数列{a}满足：0＜a＜1，a=f（a），n=1,2,3,….

证明：0＜a＜a＜1.

证明：用数学归纳法证明：

0＜a＜1,n=1,2,3,….

①当n=1时，0＜a＜1，当n=1时，0＜a＜1；

②假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即0＜a＜1.

当0＜x＜1时，f′（x）=1-cosx＞0，f（x）在（0,1）内单调递增.

f（x）在［0,1］上连续，f（0）＜f（a）＜f（1），即0＜a＜1-sin1＜1.

当n=k+1时，结论成立.

由①、②可得，0＜a＜1对一切正整数都成立.

又0＜a＜1，a=a-sina＜a，0＜a＜a＜1.

证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，数学归纳法是证明和正整数相关的不等式的最有效方法，其证明的关键是如何实现从n=k时原不等式成立到n=k+1时原不等式成立的过渡。

三、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在证等式成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以降低计算的复杂度，从而发现所要证明的等式，使问题的证明有目的性．

例4：是否存在常数a,b,c，使得等式1×2+2×3+…+n×（n+1）=（an+bn+c）对一切自然数n成立？并证明你的结论．

解：假设存在a,b,c，使得题设的等式成立，则当n=1,2,3时也成立，代入得：

4=（a+b+c）22=（4a+2b+c）70=9a+3b+c

解得：a=3,b=11,c=10，于是对n=1,2,3，下面等式成立：

1×2+2×3+…+n（n+1）=（3n+11n+10）

令S=1×2+2×3+…+n（n+1）

假设n=k时上式成立，即S=（3k+11k+10）

那么S=S+（k+1）（k+2）

=（3k+11k+10）+（k+1）（k+2）

=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）

=（3k+5k+12k+10）

=［3（k+1）+11（k+1）+10］

这就是说，等式当n=k+1时也成立．

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，原等式对一切自然数n都成立.

四、证明整数的整除问题

用数学归纳法证明整除性问题,如:求证f（n）能被a整除,设f（n）是随自然数变化的已知整式（或整数）,a是给定的整式（或整数）.由假设n=k时命题成立,来推证n=k+1时命题也成立,是最关键的一步,也是最难证明的一步.

例5：求证：5个连续自然数的积能被120整除.

证明：

（1）当n=1时1×2×3×4×5=120，能被120整除，原命题成立.

（2）假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时，

（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）

=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，即证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数.

四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4×2×3=24整除.

即当n=k+1时原命题成立.

综合（1）、（2）原命题对任何自然数成立.

总之，在证明题中，数学归纳法有两个关键点需要牢记：

（1）证明当n为某一个值时，结论成立;

（2）假定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也成立.

参考文献：

［1］普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京:人民教育出版社,选修2.

［2］华罗庚.数学归纳法［M］.北京：科学出版社,2002：12-15.

［3］赵小云,蒋亦东.数学归纳法及其应用［J］.数学通讯，2000，10.

［4］任志鸿.考试高手，3年高考2年模拟.南方出版社.

［5］吴文尧.用数学归纳法证明不等式的若干技巧和方法［J］.中学数学月刊，2004,4.

数学归纳法范文3

在教学中，我以两种不同的教学策略分别对两个学习层次相同的班级进行教学。并从课堂效果、学生反馈、作业反馈等几个方面进行对比分析，谈谈本人对本堂课教学中如何提高课堂有效性的一些思考。

一、教学案例

案例1（授课班级：6班）

1、多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒 （奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

2、归纳总结

数学归纳法证明步骤：

（1）验证当 取第一个值 （如 =1或2时）命题正确。

（2）假设当 时 命题正确，证明 时命题也正确。

3、例题讲解

例1、证明：

4.课堂反馈

练习：用数学归纳法证明：

5、课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。

（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

案例2（授课班级：7班）

1、 设置问题，引起思考

在这一环节中，为了引起学生思考的积极性，我选取了教材中出现但又未证明的公式作为题目“ ”。

我先以合情推理的让学生观察下列等式，并进行归纳：

2、 通过类比，引出递推思想

合情推理的结论不一定正确，我们怎样证明这个等式呢？提出问题：“可否依次进行验证”。让学生自主验证 等式的成立。在验证过程中，学生通过比较 时等式的左边，不难发现都有 这个项，自然想到利用“ ”来证明“ ”于是引导学生观察以上过程就会发现： 时结论成立推出 时结论也成立， 时结论成立可以推出 时结论成立，以此类推，此时我们就可以把这个过程一般化，当 时结论成立推出 时结论也成立。

3、 总结归纳得出数学归纳法

数学归纳法证明步骤：

（1）验证当 取第一个值 （如 =1或2时）命题正确。

（2）假设当 时 命题正确，证明 时命题也正确。

4、通过实例，理解数学归纳法

多米诺骨牌实验

（1）验证当 取第一个值 （如 =1或2时）命题正确。

类比骨牌：第一张牌被推倒 （奠基作用）

（2）假设当 时 命题正确，证明 时命题也正确。

类比骨牌：任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）

（3）等式成立。

类比骨牌：多米诺骨牌会全部倒下。

由多米诺骨牌加深对数学归纳法两个步骤的理解，使学生对数学归纳法有更深刻、清晰、形象化的认识。

5、 例题讲解

例 证明：

6、课堂反馈

练习：用数学归纳法证明：

7、课堂小结

（1）理解数学归纳法的原理

（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。

（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。

二、对比反思

本节课的关键就是要求在教学过程中，学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正的走人学生的心中。在案例1中，我引入多米诺骨牌，通过这一生活中的具体事例来引导学生类比得出数学归纳法公理。但数学家在发现数学归纳法过程中，并不是由生活中的某些特殊的现象通过观察推理得来的，而是在解决一些具体的有关正整数的数学问题中，归纳推理得来的，而例如多米诺骨牌这类生活中的具体事例，只是教材在编写的时候，为了更好的让大家理解数学归纳法而提出的。因此我认为本节课的重点应放在数学归纳法以及代数问题本身，而不应该过多的去纠缠多米诺骨牌等实际问题。

在案例2中，为了寻求事物的一般规律，我们先考察一些特殊的实例，再通过不完全归纳形成猜想，然后再试图用演绎推理对之进行证明。这也是世界上很多著名的数学问题的求解方法，这种方法对于学生思维的提高很有帮助。本案例中我们以：“由 时结论成立可以推出 时结论成立”归纳出一般的 “假设 时结论成立，则 时结论也成立”并且以此类推，让学生充分体会到数学归纳法是用有限个步骤，能够处理完无限个对象的方法。同时，也让学生真正认识到了两个步骤的实质：第一步验证的意义是归纳奠基，只有在第一步成立的前提下第二步才有递推的可行性；第二步是归纳递推，由第二步形成的“证明的小循环”保证了这种数学关系成立的“永恒”性。

通过以上两种不同的教法的课堂教学，可以明显的感受到运用案例2中的教法，课堂教学效果较好，学生反应较为迅速，这也说明了学生对本堂课知识掌握更到位。学生通过对数学归纳法本质的理解，再以多米诺骨牌这一实例加以辨析和辅助记忆，使学生更好的理解了数学归纳法，同时也保证了数学归纳法本身的主体性。

数学归纳法范文4

一、数学归纳法的教学价值

数学归纳法是一种不同于其他数学方法的、偏向于推理和证明的方法。归纳法是连接无限与有限的一座桥梁，是数学发展过程中里程碑式进展。在面对一些看似复杂的题目时，使用数学归纳法或许可以简化解题步骤，这更易于学生的理解记忆。与此同时，归纳法的根本价值在于它能够培养学生的思维方式。在学习的过程中，它要求学生通过细致观察、认真地思考以及严谨地推理去发现事物的规律或原理。在这个过程当中不仅学生的观察能力会得到充分的锻炼，分析能力和推理也能有所改善。这些潜移默化的改变不仅能够逐渐提高学生的抽象思维能力，还能使学生领悟归纳法中所蕴含的思想，并能灵活的运用到其他学科中。

二、数学归纳法在教学中的实际应用

数学归纳法注重锻炼逻辑和推理，因此它的思维步骤非常明确。它的第一步能够奠定全局的基础，是进行推理、证明的重要部分，需要保证当前命题的准确性与真实性。通过对当前命题的观察、分类后，才能进行下一步。第二步着重点在于推理。需要保证命题的延续性，即这一命题能够随着参数的改变能够进行无限的延伸。这两个步骤相互制约、缺一不可。而关于如何在数学教学中应用数学归纳法，本文通过教学实例进行详细说明。假设有题目如下：是否存在一个等差数列{an}，使得对于任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3++nan=n（n+1）（n+2）都成立，并证明你的结论。在解这个题目时，与平时的归纳类题目解法略有不同，但归纳思想的运用是大同小异的。在一般题目中，首先需设n=1，对此结果进行证明：随后令n=k，设n=k时等式成立，在此基础上求证n=k+1时等式是否成立，进而得出最后的结论。在本文例题的解题过程中，第一步需分别设n=1，n=2，n=3，进行方程组的求解，求出等差数列an=3n+3；第二步设n=k时成立，可得出等式a1+2a2+3a3+kan=k（k+1）（k+2）。此时令n=k+1，可得出等式a1+2a2+3a3+（k+1）an=（k+1）（k+2）（k+3）。将这个等式左边化简可得（k+1）（[k+1）+1][（k+1）+2]。此时易证n=k+1时等式成立。通过此实例的讲解，可知归纳法是一种严谨的解题方法，在解题过程中有固定的模式，所展现出来的过程条理清晰且简明。在解题时还可以将这种思想应用于多种高中数学题型。对于教师来说，在讲解的过程中，不仅易于被学生接受和理解，还能够让学生养成良好的思维习惯。

三、数学归纳法的困难及应对措施

数学归纳法范文5

【关键词】数学归纳法 归纳 应用

引言：在数学问题中，有一类问题是与自然数 有关的命题。当 表示一个命题，当 又表示一个命题，如此循环，无穷无尽，因此，一个与自然数 有关的命题实际上包含了无穷个命题。自然数有无限多个，不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的。但就部分自然数进行验证即用不完全归纳法得到的结论，又是不可靠的，为了证明这一类与自然数 有关的命题，一种切实可行又满足逻辑严谨性的证明方法出现了，它就是――数学归纳法。本文就高中数学第一归纳法的解题技巧与应用，举一些典型案例。

1.数学归纳法的概念

数学归纳法是数学上证明与自然数 有关的命题的一种特殊方法，主要研究与正整数 有关的数学问题。

2.数学归纳法的解题步骤

证明与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；

（2）（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从 开始的所有正整数 都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。

运用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可。其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据。有第一步没有第二步，属于不完全归纳法，有第二步没有第一步，则第二步的假设就失去了基础。只有两个步骤都完成了，才能断定命题对于从 开始的所有正整数 都成立。证明命题时的难点和关键都在第二步，主要在于如何合理运用归纳假设，即以“ 命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当 时命题成立”。

3.数学归纳法的应用

3.1数学归纳法证明恒等式

例1、用数学归纳法证明 。

证明：（1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立。

（2）假设 时，等式成立，即

。

当 时，

所以 时，等式也成立。

综上（1），（2）可知，等式对任意的 都成立。

点评：用数学归纳法证明恒等式：（1）第一步是验证 取第一个值时等式是否成立，是奠基。第二步在假设 时，一定要写出对应的表达式，证明 时，一定要用到归纳假设。（2）第二步证明的关键要看左右两边的项和证明的目标，合理利用“一‘凑’假设，二‘凑’结论”的证明技巧。

3.2用数学归纳法证明整除问题

例2、用数学归纳法证明： 对任意的 都能被17整除。

证明：（1）当 时， ，能被17整除，所以命题成立。

（2）假设 时， 能被17整除。

当 时，

=

所以 时，命题也成立。

综上（1），（2）可知， 对任意的 都能被17整除。

3.3用数学归纳法证明几何问题

例3、证明凸 边形的对角线条数为 。

证明：1）当 时， ，四边形有两条对角线，命题成立。

（2）假设 时，命题成立，即凸 边形的对角线条数为 。当 时，凸 边形是在凸 边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点，这个顶点与它不相邻的 顶点构成 条对角线，再加与它相邻的两个顶点构成的一条对角线，所以凸 边形的对角线条数为

，

所以 时，命题也成立。

综上（1），（2）可知， 对任意的 命题成立。

3.4用数学归纳法证明不等式

例4、证明贝努利不等式：（人教版选修4-5，不等式选讲第51页）

如果 为大于1的自然数，那么有 。（证明略）

例5、用数学归纳法证明：对任意的 ，不等式 都成立。

证明：（1）当 时， ，命题成立。

（2）假设 时命题成，即 。

当 时，

。

所以 时，命题也成立。

综上（1），（2）可知，对任意的 ， 成立。

点评：用数学归纳法证明不等式时，对 时是整个证明的难点和关键，证明时要分离出该命题中可以使用归纳假设的部分。放缩法作为不等式证明的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，常被使用。

3.5用数学归纳法解决数列问题

例6、（2012.北京海淀模拟）数列 满足 。

1） 计算 的值，并由此猜想通项公式 ；

2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。

解： （1） ， 。

（2）用数学归纳法证明猜想。

证明：1）当 时， ，结论成立。

2）假设 ，结论成立，即 。

当 时，

所以 ，即

，

即 时，结论也成立。

由1），2）知猜想 成立。

点评：先计算出数列的前几项，用不完全归纳法得到通项公式的猜想，再用数学归纳法给出证明，这是解决数列问题的一般思路，即“观察――归纳猜想――证明”。“先猜后证”解与正整数有关的问题时，有时候如果最初的两三个初始时不能发现规律，要多举几项显示其规律，要敢于猜想、善于猜想，做出科学的猜想和判断。

数学归纳法是专门证明与正整数有关的的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，证明分两步，第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”，第二步解决的是延续性问题，称为“归纳递推”，两个步骤缺一不可。运用数学归纳法可以证明许多数学问题，既可以开阔眼界，又可以受到推理训练，数学归纳法的出现，使人们的认识“从有限到无限的飞跃”（华罗庚语）。当然，并不是所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法来证明，应该具体问题具体分析。

【参考文献】

[1]刘绍学，普通高中教科书数学选修4-5不等式选讲，北京，人民教育出版社，2012.4

[2]朱丽，尖子生学案-高中数学2-2，长春，吉林人民出版社，2009.4

[3]薛金星，中学教材全解-高中数学4-5，西安，陕西人民教育出版社，2010.3

数学归纳法范文6

关键词：图论；数学归纳法；应用

中图分类号：G712文献标识码：A文章编号：1009-0118（2012）12-0129-02

图论是一个应用比较广泛的数学分支，在许多领域，诸如物理学、化学、运筹学、计算机科学、网络理论、社会科学以及经济管理等方面都有广泛的应用。点、边（或弧）、面、连通分支等是图的基本要素，在图论的证明中经常用数学归纳法对点的个数、边的个数及连通分支个数等进行归纳。一般情况下，由于证明过程中需保持图的相关性质，因而需要选择合适的要素进行归纳。有些结论的证明既可以对一种要素的个数进行归纳，也可以对另一种要素的个数进行归纳；既可以用第一数学归纳法证明，也可以用第二数学归纳法证明，其中数学归纳法的运用既体现了严谨性的要求，又体现了灵活性，表现手法多样[1]。

一、数学归纳法

作为一个好的数学家，或者一个优秀的博弈者，或者要精通别的什么事情，你必须首先是一个好的猜想家，而要成为一个好的猜想家，我想，你首先是天资聪慧的。但天资聪慧当然还不够，你应当考察你的一些猜想，把它与事实进行比较，如果有必要，就对你的猜想进行修正，从而获得猜想失败与成功的广泛经验。在你的经历中如果具备这样一种经验，你就能够判断得比较适当，碰到一种机遇，就能大致预知它的是非结果。

自然科学中的“经验归纳法”，是从某一现象的一系列特定的观察出发，归纳出支配该现象所有情况的一般规律，而数学归纳法则是迥然不同的另种手段，它用来证实有关无限序列（第一个，第二个，第三个，等等，没有一个情况例外）的数学定理的正确性。数学归纳法的原理是奠基在下属事实的基础上：在任一整数r之后接着便有下一个r+1，从而从整数1出发，通过有限多次这种步骤，便能达到任意选定的整数n。数学归纳法原理与经验归纳法是完全不同的，一般的定律如果被证实了任意有限次，那么不论次数多么多，甚至至今尚未发现例外，都不能说该定律在严格的数学意义下被证明了，这种定律只能算作十分合理的假设，它容易为未来的经验结果所修正。在数学中，一条定律或一个定理所谓被证明了，指它是从若干作为真理接受的假设出发而得到的逻辑推论。人们考察一个定理，如果它在许多实例中是正确的，那么就可猜想定理在普遍意义下将是真的；然后人们尝试用数学归纳法以证明之。如果尝试成功，定理被证明为真；如果尝试失败，则定理的真伪未定，有待以后用其他方法予以证明或者[2]。

二、数学归纳法的具体表现形式

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，而数学归纳法属于完全归纳法，它又分为有限数学归纳法和超限数学归纳法，对于后者，在实变函数论中会学到；前者有两种不同的形式，它们分别叙述为：

第一数学归纳法：如果性质P（n）在n=1时成立，而且在假设了n=k时性质P（k）成立后，可以推出在n=k+1时性质P（k+1）也成立，那么我们可以断定性质P（n）对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法：如果性质P（n）在n=1时成立，而且在假设了对所有小于或等于k的自然数n性质P（n）都成立后，可以推出在n=k+1时性质P（k+1）也成立，那么性质P（n）对一切自然数n都成立。

数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到，而反归纳法、跳跃归纳法与双重归纳法在数学的证明中不是很常见的。然而如上所述，利用数学归纳法证明与图论有关的命题，可降低证明过程的复杂性，使推理过程简单、清晰，也保证了推理的严谨性。

例1：某生产队科学实验小组决定研究n（n≥2）种害虫之间的关系，然后想法消灭它们，经实验，他们发现，其中任意两种总有一种可吞食另一种。试证明可把此几种害虫排成一行，使得前一种可吞食后一种。证明⑴n=2时，命题显然成立。⑵设n=k时（k≥2），结论成立。我们不妨以ai（i=1，2，…，k）表示第i种害虫，记这时可将它们排成a1a2，…ak，其中前一种可吞食后一种。用（ak>ak+1表示可吞食a+1）

下面考虑n=k+1时的情形，即在上面情形里加进一种害虫ak+1（当然，我们还可以将k+1种害虫分为两组，一组k，一组一种，由归纳假设第一组k种可排成a1，a2，…ak，使前一种可吞食后一种，再将第二组的一种记为ak+1加入），将有面两种情形：

（1）若ak+1>a，则可将ak+1置a1前，则有ak+1>a1>a2>…ak。命题为真；（2）若a1>ak+1，再将ak+1与a2放在一起试验，若ak+1>a，可将ak+1置a1后a2前即可，这时有a1>ak+1>a2>Λ>ak，命题为真。否则可重复往下试验，经过有限次（≤k次），必有下列情形之一：ai-1>ak+1>ai，问题解决。否则ak>ak+1，则可置ak+1于ak之后。此时有a1>a2>…>ak>ak+1，命题亦成立。

综上，命题对k+1成立，从而对任意自然数（n≥2）成立。

第二数学归纳法的应用

例2：证明（1）当n=1时，D1=cosθ，猜想成立。（2）假设n≤k-1时，Dk=coskθ，当n=k时，由式（1），有Dn=2cosθcos（n-1）θ-cos（n-2）θ=cosnθ+cos（n-2）θ-cos（n-2）θ=cosnθ，故k=n时，有Dk=coskθ，归纳法完成，故对一切n∈N*，都有Dn=cosnθ。总之，数学归纳法的两个步骤，缺一不可。即都是必须的，否则将不完整，甚至导出错误的结果。

三、图论中数学归纳法中的应用

例3：设A是G的邻接矩阵，证明Ak的（i，j）元素a（k）ij等于G中联结vi和vj的长为k的途径的数目[3]。

证明：对k用归纳法。当k=0时A0=I为p价单位矩阵。从任一顶点vi到自身有一条长为0的途径，任何两个不同的顶点间没有长为0途径，故当k=0时结论成立。

今设结构对k成立，由Ak+1=AAk，故有

a（k+1）ij=∑p12l=1aijalj（k）

由于aij同是联结vi与vl的长为1的途径的数目，alj（k）是联结vl与vj长为k的途径的数目，所以ailalj（k）表示由vi经过一条到vl，再经过一条长为k的途径为vj的总长为k+1的途径的数目，对所有的l求和，即得a（k+1）ij是所有联结vi与vj长为k+1的途径的数目，由归纳法原理，结论得证。

例4：p阶图G是一棵树，证明G有p-1条边。方法1（第一数学归纳法）：当p=2时，结论显然成立。假设p=k时结论为真，当p=k+1时，因为G没有圈，当把G中的一条边收缩后，G的边数和顶点数均少1，变成k个顶点的树，由归纳假设，应有k-1条边，再把去掉的边放回，则顶点数为k+1而边数为k，于是结论得证。

图论这门学科的内容十分丰富，涉及的面也比较广，图论中的基础知识，又是工程实际中经常用到的。数学归纳法在结论以及命题的证明过程中起了画龙点睛的作用，是其它证明方法所不可代替的。

四、结论

数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，没有它，在图论中很多与自然数有关的命题难以证明；同时对于与自然数有关的命题，把n所取的无穷多个值一一加以验证是不可能的，用不完全归纳法验证其中一部分又很不可靠，数学归纳法则是一种用有限步骤证明与自然数有关的命题的可靠方法，其思维方式对于开发学生的智力有重要价值。在图论学习中，掌握并应用好这一方法有十分重要的意义。

参考文献：

[1]华罗庚.数学归纳法[M].上海：上海教育出版社，1963.