波动方程范文1

【关键词】波动方程；混合积分变换法；行波法；积分变换法

【中图分类号】O175.2【文献标识码】A

本项目得到中国石油大学青年教师教改项目（QN201304）和研究生学位点建设项目（XWS13012）的资助.

在科学与工程技术的实际问题中，经常会遇到大量的偏微分方程，如描述电磁场中电场和磁场强度的麦克斯韦方程等.有效的求解方法对于研究这类偏微分方程所体现的科学意义具有重要的理论和实际作用.在《数学物理方程》类课程教学中，通常我们会介绍四种经典的求解方法，即分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法等.事实上，在某些情形下这些方法可加以综合运用.下面以一阶波动方程为例加以说明.

例utt=uxx+tsinx（x∈R，t>0），u|t=0=0（x∈R），ut|t=0=sinx（x∈R）.

解法1基尔霍夫公式

u（x，t）=12∫x+tx-tsinξdξ+12∫t0dτ∫x+t-τx-t+ττsinξdξ=tsinx.

解法2傅氏积分变换法

首先，方程及初始条件两端分别关于空间变量x取傅氏变换，并注意到

[sinx]=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]，

可得

d2Udt2（ω，t）+ω2U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]t，

U|t=0=0，Ut|t=0=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

接下来，求解上述二阶常系数常微分方程得

U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]ω2・t+ωsinωt-sinωtω.

最后，上式关于w取傅氏逆变换，由定义及δ函数性质，得u（x，t）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=tsinx.

解法3拉氏积分变换法

首先，方程两端关于时间变量t取拉氏变换，并考虑初始条件及[t]=1p2，得

d2Udx2-p2U=-1+1p2sinx.

接下来，由特征方程法求解上述二阶常微分方程，得

U（x，p）=C1epx+C2e-px+sinxp2.

注意到弦上各点的位移有界，特别是无穷远处.从而必然有C1=C2=0，即U（x，p）=sinxp2.

最后，上式中关于p取拉氏逆变换，得

u（x，t）=-1sinxp2=tsinx.

解法4混合积分变换法

第一步，首先方程两端关于时间变量t取拉氏变换，并考虑初始条件，得

p2U（x，p）-sinx=d2Udx2（x，p）+sinxp2.

其次，上式进一步关于空间变量x取傅氏变换，可得

p2U（ω，p）-iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]=-ω2U（ω，p）+iπp2[δ（w+1）-δ（w-1）].

第二步，整理上式求，得

U（ω，p）=p2+1p2（p2+ω2）・iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

第三步，首先关于上式中w取傅氏逆变换，由定义及δ函数性质，得

U（x，p）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=sinxp2.

其次，上式进一步关于p取拉氏逆变换，得

u（x，t）=sinx・-11p2=tsinx.

注1混合积分变换法的基本思想是先关于某一自变量进行一次拉氏积分变换，将含两个变量的偏微分方程转化为含一个参量的常微分方程，然后再关于另一变量取傅氏积分变换，得到易于求解的含两个参量的代数方程，最后再依次取相应的逆变换，即可求得原问题的解.

注2上述求解过程给我们展示了如何综合运用多种方法求解定解问题，但读者不能盲目的任意叠加这些方法.在求解之前，一定要分析清楚所给问题的条件到底适合哪些方法.

【参考文献】

[1]王元明.数学物理方程与特殊函数[M].北京：高等教育出版社，2003.

波动方程范文2

关键词：机械波 相位 相干叠加

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）11（a）-0078-02

机械波是振动的系统在弹性介质中的传播，波动中传播的只是振动状态和能量。不同性质的波动虽然机制各不相同，但它们在空间的传播规律却具有共性。波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质元上，我们通常是以平面简谐波（横波）为例来研究机械波的性质和规律，任何复杂波都可以分解为频率或波长不同的许多平面简谐波的叠加。而平面简谐波的描述是由波动方程给出的，波动的基本规律不仅适用于机械波，而且还适用于电磁波、光波以及实物粒子的德布罗依波，因而正确掌握平面简谐波波动方程的物理意义和正确运用它来解决实际问题对今后有关部分的学习无疑会打下良好的基确，获得事半功倍的效果。

1 平面简谐波波动方程所描述的物理意义

平面简谐波在介质中传播，虽然各质点都按余弦（或正弦）规律运动，但同一时刻各质点的运动状态各不相同。平面简谐波的波动方程是描述波射线上各点做简谐振动的情况，它是任一波线上任一点的振动方程的通式[1]。

设有一平面简谐波，在理想介质中沿着x轴传播，x轴即为某一波射线，在此波射线上任取一点为坐标原点，已知原点O的振动方程为：，设波动在介质中传播时的传播速度为u，当振动传到介质中的各个质点时，各质点重复波源的振动。并且，沿波的传播方向上的各质点振动的相位依次落后，则可得到波沿正、负向传播的波动方程为：，大学物理教材在推导波动方程时，都是把波源放在坐标原点。但是在习题中波源往往不在坐标原点，如果直接使用教材上的公式计算就会出错，因此我们将该问题引申一下：（1）若已知点的振动不在原点，已知始点P的振动方程为：，且P点的位置坐标为x0，则我们可推导出机械波沿正负方向传播的波动方程[2-3]：;这里不论坐标原点O与P点是否在同一波线上，此式均适用。（2）若坐标原点O与始点P不在同一波射线，如图1：假设A点为波源，已知始点P的振动方程为：，同理可以得到正、负向传播的波动方程为：

这里需要注意公式的适用范围：正向波中，x≥xA才有物理意义，而在负向波中，x≤xA才有物理意义。

2 机械波在介质中传播，任意两点之间的相位差

机械波在介质中传播振动状态，确定系统任意时刻振动状态的一个重要的物理量是振动的相位[4-5]，研究同一时刻单个机械波在波线上坐标为x1和x2两点处质点振动的相位分别为：

它们的相位差为（1），得出了在同一时刻，波线上任意两点的相位差Δφ与波程差Δx的关系，反映了两个振动不同程度的参差错落。若介质中的两点在不同的波射线上，又该如何来求两点的相差呢？如，一平面简谐波沿x轴传播，波长为λ，频率为f，波源位于So点。

如图2所示，以波源So处为坐标原点O，C、D两点坐标分别为-xC，xD，如果用公式（1）来求C、D 两点的相差就会出错，我们可先求D、O两点的相差ΔφDO和C、O两点的相差ΔφCO：

，

。则C、D两点的相差：。从以上例子中我们可以得出波源、始点的位置及波射线的方向都对波动方程及质点的振动状态有影响，是我们必须要仔细分析的。

3 两相干机械波源相遇区域各点的相位差及相干叠加后的振幅

如果是两个相干波源，在两机械波相遇的区域就会发生相干叠加，在相遇的区域各点的相位差又如何求？比如，有S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距λ/4，S1较S2位相超前π/2，如图3所示。

由于是相干波源，S1S2满足频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差相同或位相差恒定的相干条件。假设以S1为原点，沿S1S2方向建立x坐标轴，并假设S1S2都可以同时沿着x坐标轴的正、负方向传播。S1的振动方程为：（由已知S1较S2位相超前π/2），可得到S1同时沿x轴正、负向传播的波动方程：

≥ （2）

≤ （3）

同理可得，S2同时沿x轴正、负向传播的波动方程为：

≥ （4）

≤ （5）

两波源在相遇区域各点的相位差，可以分三个不同区域进行讨论：

（1）区域Ⅰ：x≤0，S1S2都沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（3）和（5），由于，

所以：，干涉相消。

（2）区域Ⅱ：0≤x≤λ/4，S1沿x轴正向传播，而S2沿x轴负向传播，适用的波动方程分别为（2）和（5），

因此：，叠加后的振幅与位置坐标x有关，

（3）区域Ⅲ：x≥λ/4，S1S2都沿x轴正向传播，适用的波动方程分别为（2）和（4），所以：，干涉相长。

利用Matlab可以作出不同区域的相干叠加效果图如图4：可以清楚的看到相干叠加后的波形图：区域Ⅰ振幅都为0（干涉相消）、区域Ⅱ振幅随着位置坐标x不同、区域Ⅲ为余弦（或正弦）函数（干涉相长）。

学生在处理这类问题时一般会把它简单地分为两个区域：

（1）在区域Ⅰ，距离为的点，传到该点引起的位相差为

，得到合振幅。

（2）在区域Ⅲ，距离为的点，传到该点引起的位相差为，得到合振幅为

。

而对于区域Ⅱ（S1S2之间的区域）就不知怎么分析了。这里还有两个问题需要更正和说明的：（1）题目告诉我们S1和S2两相干波源的振幅为A1，由于机械波中每个质点的距离原点的位移y是时间t和位置坐标x的双重函数，因此这两列波各自单独传播到任一点P时，到达P点时的位移y不一定就是A1，也就是说：在S2外侧，S1S2波源传到该相遇区域在任一点引起的振动位相差为0，两相干波干涉相长，但该点的合振动并不是一个恒定的量2A1，而是如图4中区域Ⅲ部分的曲线所示，仍为原波动方程所描述的余弦（或正弦）函数，由于两波源振幅相同，所以合振幅整体提高了一倍。（2）此外波的强度虽然与振幅的平方成正比，但波的强度I并不一定就等于振幅的平方，所以学生认为在相长干涉中波的强度I=A2=4A12也是不完全正确的，是需要有前提条件的。

4 结语

该文从平面简谐波的波动方程的物理意义出发，对平面简谐波在介质中传播任意两点间的相位差进行了一系列的分析，重在理解平面简谐波在相遇区域相干叠加的相位差和振幅及波的强度，并利用数值模拟和数值计算软件Matlab对所研究对象进行了模拟分析及作图，让学生能更清晰地理解这部分内容，对波的干涉知识融会贯通。

参考文献

[1] 赵近芳.大学物理简明教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2008.

[2] 郭欢，周玉龙.关于机械波中的几个问题[J].黑龙江科技信息，2010（5）.

[3] 杨百愚，冯大毅，张崇辉，等.如何“写”出平面简谐波的波函数[J].物理与工程，2008（10）.

波动方程范文3

关键词：工程船 动力定位系统 自适应滤波算法

船舶动力定位系统概述

现今，动力定位系统已经广泛应用在海洋工程领域中，系统计算出船舶实际位置和目标位置的差值，之后根据外界的干扰力的作用计算出船舶回到初始目标位置应用的推力大小及方向，根据计算的值分配给船舶上的各个推进器，保证船舶在预先设置的位置或航迹上。

目前，动力定位系统的滤波器主要以Kalman滤波器和非线性滤波器为主。在实际中，所建立的模型由于船舶附加重量以及水动力线性阻尼系数的不精确而产生一定的偏差。此外，外界环境干扰的随机性以及系统噪声的统计的困难，导致在实船中参数的选择较困难。为了解决上述问题，本文设计了基于Sage-Husa自适应的滤波算法，同时结合强跟踪卡尔曼滤波算法的动力定位系统的综合滤波器。

船舶动力定位滤波器设计

1、船舶动力定位滤波器设计

建立三自由度方向上的船舶动力定位滤波器所需要的状态方程和量测方程。如式（1）所示。

式中，U―船舶本身与风对船舶产生的合力以及船舶自身合力矩与风对船舶产生的风力矩项之和；w―纵荡方向上的海洋环境因素。

2、改进的自适应滤波算法

将强跟踪卡尔曼滤波算法引入到改进的Sage-Husa自适应滤波算法中。通过加入未建模的误差来增加系统的过程噪声和量测噪声的方差阵，这样，使用低精度的滤波得到了强稳定性和高收敛性的滤波器的算法变得简单，同时可信度较高。如式（2）所示：

其中，在系统状态变量突变时，增大的估计误差将导致相应的加权系数以及误差方差阵V0k变大，从而通过增强滤波器的跟踪能力使系统的可靠性增强。

根据Sage-Husa自适应滤波以及强跟踪卡尔曼滤波算法各自的特点，提出了两种算法相结合的构思，构造新的自适应滤波算法，解决海洋工程船舶动力定位的滤波问题。Sage-Husa自适应滤波算法具有较高滤波精度以及较低稳定性的特点，而强跟踪卡尔曼滤波算法具有较低的滤波精度以及较高稳定性、适应性的特点。因此，将两者结合在一起，构成新的自适应滤波算法满足各自的优点，根据判断滤波器的收敛性，如果收敛则采用Sage-Husa自适应滤波算法；如果发散则采用强跟踪卡尔曼滤波算法。

系统的过程状态向量协方差无界则滤波器发散。将新息序列作为滤波器是否收敛的判据。而实际系统的过程状态估计误差包含于新息序列的项中。理论预计误差的新息可以通过新息序列的方差阵来描述，如式（3）中列出了新息序列中预计误差的新息公式。

为此，式（4）可以作为判断滤波器收敛性的标志。

其中1为可调系数。满足式（4）时，可以判定滤波器为稳定工作状态，选择使用Sage-Husa自适应滤波算法估计过程状态向量；不满足式（4）时，可以判定滤波器为发散工作状态，选择使用强跟踪卡尔曼滤波算法，加权系数的调整误差协方差阵，进而促进滤波收敛。改进的新的自适应滤波算法如图1所示。

船舶动力定位滤波器仿真

模拟环境为：平均风速约为10m/s，船舶吃水约为9m、排水量约为37000总吨、航速约为3节，船舶处于航行状态，在使用了本文设计的滤波器，船舶的纵荡、横荡和艏向三个方向的滤波效果如图2-图4所示。

根据实船测试数据计算可以得出，纵荡、横荡和艏向三个方向的估计误差均值为：0.1036、0.1484、0.0609；而纵荡、横荡和艏向的估计误差标准差为：1.2101、1.2014、0.8003。由图2-图4可以看出，纵荡、横荡和艏向的估计误差均值和标准差可以得到，和实船测试数据几乎一致。

结论

根据Sage-Husa自适应滤波以及强跟踪卡尔曼滤波算法各自的特点，构造新的自适应滤波算法，解决海洋工程船舶动力定位的滤波问题。新的自适应滤波算法提高了滤波精度以及稳定性，通过和实船测试数据的对比，两者几乎一致，但是由于在建立船舶模型时存在一定的偏差，导致两者之间的结果有一定的差别。

参考文献：

[1] T. I. Fossen. Guidance and Control of Ocean Vehicles[M]. Antony Rowe Ltd， 1994.

[2] 王宗义， 肖坤， 庞永杰， 李殿璞. 船舶动力定位的数学模型和滤波方法[J]. 哈尔滨工程大学学报， 2002， 8（23）：24-28.

[3] T. I. Fossen. Marine Control Systems： Guidance， Navigation and Control of Ships， Rigs and Underwater

Vehicles. Trondheim[M]. Norway： Marine Cybernetics， 2002.

波动方程范文4

关键词：桩基检测 动力检测 声波透射

前言：随着我国城乡建设事业的迅速发展，桩基工程越来越多应用于高层建筑、重型厂房、桥梁、港口、码头、海上采油平台、核电站工程以及地震区、软土地区、湿陷性黄土地区、膨胀土地区和冻土地区的地基处理等地方，桩基检测工作是整个桩基工程中不可缺少的环节，只有提高桩基检测工作的质量和检测评定结果的可靠性，才能真正地确保桩基工程的质量与安全。因而桩基工程检测技术也就成为一个热门而得到广泛重视。目前，国内外关于桩基检测技术的发展是多方面的，本文主要介绍目前较普遍的桩基检测技术：基桩动力检测、低应变发射波法、高应变法、声波透射法检测。但是桩基检测是一项很复杂的系统工程，无论在理论上还是实践中目前都存在很多问题值得进一步的研究。

检测技术的现状

1.1静载荷试验

静载测试技术是随着桩基础在建筑设计中使用越来越广泛而发展起来的。传统静载荷试验采用手动加压、人工操作、人工记录的方式进行。受工作条件比较艰苦，试验时间比较长、投入的人力较多、导致工作效率低。数据误差大等因素，被新的技术所取代。

1.2高应变法

高应变法是当作用在桩顶上的能量较大，直接测得的打击力与设计极限值相当时。目前高应变法主要有动力打桩公式法、波动方程法、Case法、曲线拟合法、锤击贯入法和动静法等，但工程界应用最广泛的高应变法是CASE法和波形拟合法。

CASE法是一种通过一维波动方程计算而获得岩土对桩的支撑阻力的新方法。它有三条基本假定：桩身是等阻抗的；桩周与桩尖土对桩的运动阻力分为动阻力和静阻力两部分，动阻力全部集中在桩尖，忽略了桩侧土阻力；静阻力模型为理想刚塑性体，忽略了应力波在传播过程中的能量损耗，包括桩身中内阻尼损耗和向桩周土的逸散。基于以上三条基本假设,由行波理论和波动方程推导出CASE法单桩极限承载力公式： Rs=R－JC(2Ft1－R)其中Jc是地区性经验系数，土质不同， Jc凭经验取值的变异性会很大。波形拟合法波形拟合法目前被认为是确定单桩承载力最准确的方法。它是通过现场把实测力波和速度波输入计算机进行迭代计算，把桩―土系统变为离散的质弹模型，假定各单元桩和土参数，以实测的桩顶速度波(或力波)作为边界条件，用特征线法求解波动方程，反算桩顶力波(或速度波)，使计算的波形和实测波形拟合。若两者不吻合，调整桩土参数，再次计算,直至吻合。此时各参数是**估算值。最终求得承载力、侧阻分布和计算的Q－S曲线。

1.3低应变法

低应变法是作用在桩上的能量较小，仅能使桩土间产生微小扰动。现在国内低应变动测法主要用于检测桩身完整性。我国低应变动测桩法主要是应力波反射法，其次还有机械阻抗法、动力参数法、水电效应法、共振法等。其中应力波反射法在桩身质量检测中应用最广泛。

应力反射波法是以应力波在桩身中的传播反射特征为理论基础的一种方法。该方法将桩假定为连续弹性的一维截面均质杆件，并且不考虑桩周土体对沿桩身传播应力波的影响。当在桩顶施加一瞬态锤击振力，将在桩内激发应力波，由于桩与周土之间的波阻抗差异悬殊，应力波的大部分能量将在桩内传播，当波长L＞＞桩径D，应力波波长λ＞＞D时，桩可以看作一维杆件，应力波在桩内传播可以采用一维杆波动方程计算。垂直入射的应力波在桩内传播过程中，当桩内存在有波阻抗差异界面时，波将产生反射波和透射波，反射波将沿桩身反向传播到桩顶，而透射波继续向下传播。

1.4声波透射法检测

声波透射法是利用声波的透射原理对桩声混凝土介质状况进行检测，因此仅适用于在灌注成型过程中已经预埋了两根或两根以上声测管得基桩。

声波透射法根据波在介质中的传播方式分为横波超声波法和纵波超声波法。20世纪70年代，声波透射法开始用于检测混凝土灌注桩的完整性。目前大量使用的数字式声波仪有很强的数据处理、分析功能，几乎所有的数学运算都是由计算机来完成的。

1.5 钻孔取芯法

目前，钻孔取芯法主要应用在钻孔灌注检测上。钻芯法是一种微破损或局部破损的检测方法，具有科学、直观、实用等特点。

2、桩基检测中存在的问题

2.1 单一检测方法的局限性

桩静载荷试验目前盛行堆载平台法，但目前的平台对试桩及基准桩附近形成大面积堆载，应力高达300kPa以上，影响试桩工作状态和基准桩的设置，甚至造成平台失稳事故，因此，必须改进平台的结构形式

高、低应变动力试桩法有一定的适用范围，当长径比大于30，或桩体有两个以上缺陷时，动力试桩均难以提供准确的桩体完整性信号，对于目前大量使用的超长桩，动力试桩必须加以改进。提高动测信噪比，提高检测精度是需要解决的问题。

声波透射法桩身完整性检测方法不能完全适用于组合桩、异形桩、薄壁钢管桩。

钻孔取芯法几乎九成以上都用在混凝土灌注桩检测上。

2.2桩基动力检测方法在应用中存在的不足

桩基完整性动力分析基本上不能对截面的变化程度作出定量评定，而只能对桩身缺陷的存在作出定性和定位的判断。

桩基承载力动力分析由于物理数学模型、力学模型、桩土材料模型、计算公式、分析流

程、应用软件及仪器设备等各个方面，在对承载力的分析计算上容易出现系统误差。

2.3载荷检测存在的问题

受现有设备的限制，采用大干斤顶量测小吨位桩，不认真执行规范制定的试验步骤，提前加压或记录，卸载时不进行回弹观测，造成误差。

虽然上述桩基检测技术在各种桩基检测工程中得到了广泛的应用，取得了巨大的社会效益和经济效益，但我们也应该清楚的看到，各种桩基检测技术都还存在一些问题。

为了解决这些问题，一方面，要不断改善已有仪器的的硬件性能和质量，并努力开发出新的仪器,另一方面，要加强对桩基检测技术理论的研究工作，寻求更精确的物理模型。

参考文献：

[1] 徐攸在,刘兴满.《桩的动测新技术》.中国建筑工业出版社,1989.

[2] 刘明贵，佘诗刚，汪大国.《桩基检测技术指南》.科学出版社，1995

[3] 刘明贵，蔡忠理，佘诗刚.《基桩与场地检测技术》.湖北科学技术出版社，1995.

波动方程范文5

关键词：地震勘探检波器；原理；特性；问题

在地震勘探工作中，检波器主要的作用为接收地震信号，属于对地震信号进行接收的前段环节，投入应用能够以直接的方式感知大地质点振动。但是，从实际工作来看，倘若不能了解地震勘探检波器的原理和特性，那么在使用过程中将会出现一些问题，从而影响地震勘探效果[1]。基于地震勘探工作的效率提升角度考虑，本文便有必要对地震勘探检波器原理和特性及有关问题进行分析。

1.地震勘探检波器原理及特性分析

1.1地震勘探检波器原理

对于地震勘探检波器来说，属于一种振动传感器，其工作原理和振动传感器相同，为一个单自由度的振动系统。以感应振动信号的物理量差异，可细分为三类传感器，即：位移传感器、速度传感器以及加速度传感器。但是，不论哪一类型的振动传感器，均对当中的一个物理量感应，切主要以输出的电信号和哪个物理量成正相关为准则[2]。此外，从地震检波器的机电转换来看，其主要作用为把振动系统感应的振动信号等比例地转换成电信号。根据转换原理角度来看，涵盖的检波器较多，如：电磁感应检波器、电容检波器以及压电检波器等。

1.2地震勘探检波器特性

从地震勘探检波器的特性来看，主要有两类：其一为动态特性；其二为静态特性。两方面的特性对检波器的品质有非常重要的影响。对于动态特性参数来说，涵盖了固有频率、阻尼系数、频率响应范围以及频率特性等等。对于静态特性参数来说，涵盖了有线性度、灵敏度、分辨率以及稳定性等。

检波器动态特性，指的是检波器对随着时间改变输出量的响应特性，其由传感器自身决定，同时和被测量的改变方式也存在相关性。深入分析，动态特性是由检波器的振动方程与力学特性决定的，经解振动方程能够获取系统的频率响应函数，进一步将幅频响应与相频响应函数求解出来，而决定响应特性的参数主要包括检波器的自然平率以及阻尼比。

2.地震勘探检波器相关问题及排除方法分析

在上述分析过程中，对地震勘探检波器原理及特性有了初步了解。但在实际应用过程中，地震勘探检波器还涉及相关问题。为了地震勘探检波器的应用价值得到有效提高，有必要对其问题及排除方法进行分析。

2.1常规检波器问题

基于地震勘探过程中，将20DX作为代表的检波器统称为常规检波器，其自然频率通常为10Hz。此类检波器虽然能够在常规地震勘探中发挥作用，但是也存在一些较为明显的问题，主要包括：（1）指标参数允差偏大，检波器一致性差，进而使地震资料的分辨能力下降。为此，处于高精度地震勘探过程中，需使用性能参数允差较小的检波器。从现状来看，允差在±2.5%的检波器已投入市场，但成本费用相对增多。（2）存在较大的失真度，会对动态范围造成影响，进一步发生信号畸变。为此，需将常规检波器的失真度控制在合理范围内，使其动态范围满足勘探要求，进一步避免地震信号畸变的发生。（3）假频低，会对频带范围造成影响，进而使横向干扰产生较大的影响。因此，有必要控制假频，消除造成的横向干扰，进而使勘探效果增强。

2.2自然频率问题

对于自然频率来说，属于地震勘探中一大关键的检波器参数，如果检波器的自然频率偏高，将会使地震信号的频宽降低，这是一大问题。倘若无特殊的抑制低频干扰，或者无增强某高频段信号，可使用频带比较宽的检波器。总而言之，对于检波器来说，具备比较宽的频带范围为宜。

2.3Ρ仁匝槲侍

检波器对比试验主要问题包括：其一，试验目的不够明确，在选取检波器过程中，存在一些个人方面的因素，当检波器人对检波器不够熟悉的情况下，试验便会出现问题。其二，试验内容不够具体；其三，试验资料分析针对性不够强。针对上述问题，需明确检波器对比试验的目的，同时明确试验内容，采取合理、科学的分析方法，进一步提升检波器试验的效果。

3.结语

通过本文的探究，认识到地震勘探检波器在地震探勘过程中的应用价值较高。为了正确使用地震勘探检波器，需了解地震勘探检波器的原理及特性，进一步对其实际应用问题进行分析，并采取有针对性的解决方法。相信在正确使用地震勘探检波器，并结合地震资料采集成果分析的条件下，地震勘探工作的效率及质量将能够得到有效提高，进一步为地震勘探的发展奠定基础。

参考文献：

[1]程建远，王盼，吴海，江浩.地震勘探仪的发展历程与趋势[J].煤炭科学技术，2013，01：30-35.

波动方程范文6

关键词：小波分析；爆破震动；品质因子；衰减指数

中图分类号： TB41文献标识码：A 文章编号：

1 引言

爆破震动是爆破作业过程中不可避免的现象。炸药爆炸释放出的能量，在岩体内激发出一种波峰压力值很高的冲击波作用于药包周围的岩壁，引起周围岩体的挤压、拉伸破碎，形成爆破空腔。由于岩体对能量的损耗，随传播距离的增大冲击波急剧衰减，无法再引起岩体破碎，其余能量则以应力波的形式继续传播、衰减，同时引起地表的震动。工程上一般用质点震动速度来表示爆破震动的强度，目前国内比较通用的预测地表质点振速的公式是前苏联的萨道夫斯基[1]公式：

， （1）

式（1）中，V为质点振动速度，cm/s；Q＇为单响药量（齐发爆破时为总装药量，延发爆破时为最大一段装药量），kg；R为质点到爆源中心的距离，m；K、α均为与爆破方法、地质、地形条件有关的待定系数，又称K为场地系数，α为衰减指数。

在地震学领域，地震波的衰减特征由地震品质因子Q表征。而在工程爆破领域，吸收介质的衰减常用衰减指数α表示。α和Q间的关系为[2]：

， （2）

式（2）中，α(ω)为衰减参数；c为岩体波速；ω为圆频率。

通常品质因子由岩石的微观性质决定，诸如岩石内部裂纹的密度、分布、构造以及所含流体的相互作用。（2）式表明衰减参数α与圆频率ω关于Q成线性关系。估算品质因子Q值的方法，以前的学者做了大量的研究，主要有频谱比法[2]，质心频移法[8]等，大部分的研究使用了傅里叶变换。信号的傅里叶变换在信号处理中架起了时间域和频率域之间的桥梁，在信号处理学等多个学科领域内有着广泛的应用。虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，但我们只能从信号的时域和频域分别观察，不能将二者结合起来。这样产生了时域和频域的局部化矛盾。在实际工程中，用于处理的爆破震动信号往往是非平稳的，瞬变信号范围比平稳信号大得多，也更加复杂，信号在某一时刻附近的频域特征都很重要，而小波分析解决了时频局部化特征这一难题，所以小波分析方法比傅里叶变换在实际工程中更具有优势。本文从小波分析入手，利用小波尺度域的能量在一定尺度范围内能够表征震动信号的衰减特征，通过信号的尺度能量谱，能够较好地估算出品质因子Q，从而得出衰减参数的值。

2 小波尺度能量谱理论基础

2.1 连续小波变换

小波（wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限（紧支集）或快速衰减，且均值为0的波形[3]。

小波函数的确切定义为：设Ψ(t)为一平方可积函数，即Ψ(t)L2(R)，若其傅里叶变换Ψ(ω)满足条件：

，（3）

则称Ψ(t)为一个基本小波或小波母函数。

将任意L2(R)空间中的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换，其表达式为：

， （4）

式（4）中，t为时间，母小波Ψ(t)加上短横线表示取复数共轭；参数a、τ分别为尺度因子和平移因子；WTf(a,τ)为小波变换系数。

本文选取的母小波为修正后的复Morlet小波[4]：

，（5）

式（5）中，m为调制频率，m≥5；c为调幅因子，控制小波函数的长度，具体参见文献[4]。

2.2 小波尺度域能量衰减方程

在地震学领域，若考虑地震波为一平面波，地震波U(ω,z)在粘弹性介质中延z轴方向以角频ω传播的传播方程为[4]：

，（6）

式（6）中，z为地震波传播距离，m；U(ω,0)为z=0时的震源波场，c(ω)为相速度。

将（6）式代入信号的能量密度公式：

，（7）

式（7）中，E(ω,z)为能量密度，得到能量衰减密度方程：

，（8）

对传播方程（6）进行连续小波变换，小波采用修正复Morlet小波，从而得到小波尺度域的能量衰减密度方程[4]：

，（9）

对角频ω进行积分，可以推导出小波尺度域能量衰减公式（具体推导参见文献[4]）：

， （10）

式（10）中，Ea为尺度能量，由于品质因子Q>>1，选取合适的c值使得c2/Q2a2足够小，则可忽略上式中的指数平方项得出：

， （11）

式（11）中，t为传播时间；a为尺度因子；m为Morlet小波参数。

对（11）式两边取自然对数：

， （12）

式（12）中，ax为自变量（可取值如1，2，3…）；lnEa为因变量。可以从式（12）中看出，品质因子的负倒数即为方程的斜率，通过一元函数线性回归可以拟合出其值的大小。

3爆破震动信号分析

3.1 爆破震动监测

本文所使用的监测数据由四川动态测试研究所研制的IDTS3850爆破震动记录仪采集，监测地点为河北钢铁集团司家营铁矿。爆破使用铵油炸药，总药量为7.7 t，炮孔数为30，测试距离为300 m。爆破震动图如图1、图2，图1是测试现场的平面图，图中标注了测试地点的位置及爆区位置。图2是IDTS3850爆破震动记录仪记录到的爆破震动信号。

图1 测点位置及爆区位置

图2 爆破震动信号速度曲线

3.2品质因子估计

从前文的理论分析可知：信号在小波尺度域的能量在一定的尺度范围内能够反映出震动信号的衰减特征，这种特征被定义为小波尺度域震动信号衰减属性。本文使用的复morlet小波（如（5）式），用它对震动信号f(t)进行一系列不同尺度下的连续小波变换将得到一个系数矩阵。复morlet小波函数具有实部和虚部特征，则所得到的变换系数矩阵也同样具有实部和虚部，具体如下：

对矩阵中对应系数的实部和虚部平方和求模，可以得到不同尺度下的瞬时幅度。即[5]：

，（13）

通过幅度的平方对时间τ进行积分，就可以得到信号在小波尺度域的能量谱。即：

， （14）

由于爆破地震波的频率都是瞬时的，随时间而变化，其成份相当复杂，是一种宽频带波，但在一定条件下主频比较稳定[5]。鉴于此，文章分析时采用的尺度范围为20~1 000（即对应震动信号频率4 Hz~200 Hz）。尺度和频率对应关系如下：

， （15）

式（15）中，fa为爆破地震波频率；Fc为小波函数中心频率；fs为震动记录仪的采样频率，采用4 000 Hz；a为尺度。则可以计算出采用的分析频率范围为4 Hz~200 Hz，基本符合震动信号的频率范围。

能量曲线图如下图3、图4：

图3 不同尺度下信号的能量曲线

图4 尺度能量取对数曲线

图3表示的是不同尺度下（20 ~1 000时）爆破震动信号的能量曲线。图4表示的是由式（12）得出的尺度能量对数曲线。从图3中可以看出，震动信号的能量峰值约在尺度a=220，表明此信号的优势频率在fa=4 000/220=18.2 Hz，同时尺度范围在60 ~80表示信号带宽约在5 Hz~67 Hz，此与多数学者关于爆破地震波频率特征的结论一致。图3中尺度a在20 ~60的能量值为0，对应图4中m×t/a=120~350，同时该段曲线在经过一个较大衰减之后迅速趋于稳定并略有上升趋势，显然不能够反映真实的衰减特征。文献[4]、[6]指出，实际地震信号的尺度能量在某一尺度（简极值点尺度）达到最大，从极值点尺度向小尺度（即信号的高频）方向，尺度能量与地层的品质因子有关，但在最高频端，由于地震信号本身缺少这部分能量，由尺度能量公式估算的能量值不反映衰减；从极值点尺度向大尺度（即信号的低频）方向，尺度能量随尺度的减小而增大，此时尺度能量公式已不适用。由极值点尺度起向小尺度方向的“带通”区域内所计算的尺度能量称为地震波尺度能量衰减属性，对应于图3到图4中为点ab，a1b1。

图5 一元线性回归分析

上图5是尺度能量的对数谱，其斜率代表了品质因子Q的负倒数，经过校核分析，Q值约为15.63左右。多位学者对地表Q值用不同方法做过研究，Q值越大表明衰减幅度约小，反之衰减幅度越大。李宏兵等在文献[6]中指出，含气砂岩的品质因子约为5~30；袁恩辉[7]等在研究海上地震资料时得出海底不同深度的物质Q值从100~1 000不等；表明Q值与物质的密度、状态等物理性质有很大关系，砂土类物质的品质因子远小于岩石，岩体结构越完整，品质因子越大。本文得到的Q值在15.63左右，表明监测地点地表对地震波的损耗衰减非常大。结合司家营铁矿2期工程处于初始阶段，尚未开掘到主要阶段，上覆土层过厚，下覆岩体风化程度较大，岩体破碎的实际情况来看，校核得出的数据较为真实。

3.3 衰减参数估计

由式(2)可知衰减参数α与频率f成正比，与品质因子Q、岩体波速c成反比。

，（16）

图6 fft变换频谱图

上图6是震动信号的fft变换频谱，从图中可以清楚看到，信号的优势频率为18 Hz左右。结合测得的岩体波速c=2230.8 m/s，可以估计出衰减参数α=1.62。

4结语

爆破震动位居爆破四大“公害”之首。为控制爆破震动，防止其对边坡、基础、新浇混凝土及其它建筑物、工程设施的破坏或潜在破坏，爆破震动监测成为岩石开挖施工期间安全监测的重要内容之一。如何充分分析与利用爆破震动监测资料中所蕴含着的包括波传播过程中岩体的衰减参数等内在信息，从而更好地把握爆破地震波传播过程中的衰减规律，既达到爆震控制又能降低监测工作量，已成为广大爆破工作者面临的任务。

a) 从小波理论出发，利用地震波在粘弹性介质中的吸收衰减规律，在小波域使用修正后的复morlet小波做为小波母函数，从爆破震动信号的小波能量谱中提取地震波的衰减特征Q值，从而估算出衰减参数α的值；

b) 关于品质因子的提取，监测地点的地质条件会对结果产生一定影响。地震波的衰减主要由地表附近的地质条件所决定，诸如岩石的破碎程度，内部构造以及所含流体的相互作用。因此，品质因子是综合反应某一地段衰减特征的物理参量；

c) 萨道夫斯基公式中的α被称为衰减参数，其衰减特征与爆破震动信号的传播路径，介质的物理性质相关。在工程爆破领域，式（2）给出了品质因子Q与衰减指数α的关系，利用这种关系从品质因子方面入手校核衰减指数α，可以做为一种参考手段；

d) 从图4给出的信号的尺度能量谱来看，震动信号的优势频率占其能量值的较大部分，同时也看出爆破震动信号的频域分布较广，从5 Hz~100 Hz均有分布，表明尺度能量谱能很好地反映信号的频域特征。

参考文献：

[1] 张雪亮,黄树棠.爆破地震效应[M].北京:地震出版社,1981.

[2] 卢文波,董振华,朱传云.爆破地震波传播过程中衰减参数的确定[J].工程爆破,1997,3(4):12-16.

[3] 葛哲学,沙威.小波分析理论与MATLAB R2007实现[M].北京:电子工业出版社,2007．

[4] 李宏兵,赵文智,曹宏,等.小波尺度域含气储层地震波衰减特征[J].地球物理学报, 2004,47(5): 892-898．

[5] 李端明,张志呈,肖正学.爆破地震波的频率特性[J].西南工学院学报,1998,13(3):43-48.

[6] 李宏兵,赵文智,曹宏,等.应用小波尺度域地震波衰减属性检测气体[J].石油地球物理勘探,2005,40(4):411-416．

[7] 袁恩辉,顾汉明.基于小波域从叠前地震数据提取地层品质因子Q[J].工程地球物理学报,2010,7(2):190-196．